Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

6.Властивості функцій

.docx
Скачиваний:
40
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
3.55 Mб
Скачать

План-конспект уроку

з алгебри та початків аналізу

для групи Р-11, Д-11

Тема уроку: Область визначення та область значення функції; зростаючі і спадні, парні та непарні функції.

Мета уроку: Формування поняття область визначення та область значення функцій; зростаючі і спадні, парні та непарні функції. Засвоєння учнями вмінь досліджувати функцію.

І. Мотивація навчання.

Щоб вивчати процеси і явища навколишнього світу, потрібно вміти досліджувати відповідні математичні моделі, зокрема і функції.

II. Повторення та систематизація знань

Самостійна робота

IIІ. Засвоєння нового матеріалу.

Дослідити функцію – це означає виявити її найважливіші властивості:

  1. вказати область визначення;

  2. вказати область значень;

  3. з'ясувати, чи не є дана функція парною або непарною;

  4. знайти точку перетину графіка функції з віссю у,

  5. знайти нулі функції та проміжки знакосталості;

  6. визначити проміжки зростання чи спадання.

Узагальнивши все, слід побудувати графік функції.

Область визначення і область значень.

Установлюючи область визначення функції, вказують усі значення, яких може набувати аргумент. Якщо функцію задано формулою, а про її область визначення нічого не сказано, то розуміють, що вона така сама, як і область допустимих значень змінної, яка входить до цієї формули.

Якщо функцію задано графічно, то область визначення функції – проекція її графіка на вісь область значень функції – проекція її графіка на вісь у. Наприклад, область визначення функції у = х2 - множина всіх дійсних чисел R, область її значень – проміжок [0; +∞).

Парність.

Функція у=f(x) називається парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х з області визначення f(-x) = f(x). Функція у = f(x) називається непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного значення х із області визначення f(-x) = -f(x).

Існують функції ні парні, ні непарні. Це такі функції, у яких або область визначення несиметрична відносно нуля, або для яких не виконується жодна з умов f(-x) = ±f(x). Якщо функцію задано графічно, то дослідити її на парність або непарність досить просто, оскільки графік парної функції симетричний відносно осі у (мал. 23), а непарної - відносно початку координат (мал. 24).

Наприклад, з функцій, заданих на R, у = х2, у = 2 - х2, у = |x| - 3 - парні, у=х3,у=х3+х- непарні, а у=2х+3, у = х2 + х - ні парні, ні непарні. Побудуйте їхні графіки.

Нулі функції та проміжки знакосталості.

Значення аргументу, при яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції. Проміжки області визначення функції, на яких функція не змінює знака (тобто має тільки додатні або тільки від'ємні значення), називають проміжками знакосталості.

Щоб знайти нулі функції у = f(х), потрібно розв'язати рівняння f(х)=0. Корені цього рівняння є нулями функції.

Щоб знайти проміжки знакосталості, потрібно розв'язати нерівності f(x)> 0 і f(х) < 0. Розв'язки нерівності f(х) > 0 - це значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень.

Наприклад, нулями функції у = х2 - 9 є числа 3 і -3, оскільки і .

Функція набуває від'ємних значень, якщо х2 - 9 <0, тобто коли .

Монотонність

Функцію називають зростаючою на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає біль­ше значення функції. Функцію називають спадною на деякому проміжку, якщо кожному більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.

Якщо функція на всій області визначення зростає або на всій області визначення спадає, її називають монотонною. Якщо ж функція зростає на деякому проміжку або спадає на ньому, то говорять, що вона монотонна на даному проміжку. Наприклад, монотонною є функція у = 5х - 3, вона на всій області визначення зростає (мал. 25). Функція у=4-х2 монотонна на проміжку (-∞; 0), на якому зростає, і на проміжку (0; -∞), на якому спадає. На всій області визначення вона не монотонна (мал. 26).

Характеризуючи властивості функції, часто зазначають також, у яких точках вона має найбільше значення, у яких - найменше. Наприклад, функція у = 4 - х2, задана на проміжку [-1; 3], у точці х = 0 має найбільше значення 4, а в точці х = 3 найменше значення, яке дорівнює -5 (мал. 27).

Графік функції складається з двох роз'єднаних віток (мал. 28). При х = 0 значення цієї функції не існує. Кажуть, що в точці х = 0 вона має розрив. Якщо графіком функції є неперервна лінія (її можна провести, не відриваючи олівець від паперу), то таку функцію називають неперервною функцією. Приклади неперервних функцій подано на малюнках 25-27. А на малюнках 29 і 30 зображено графіки функцій, які мають розрив у точці х = 1. Вони не є неперервними в цій точці.

Деякі з властивостей функцій досить просто з'ясовувати, дивлячись на її графік. Наприклад, функція, графік якої зображено на малюнку 31, має такі властивості.

  1. Область визначення D(y) = [-2; 24].

  2. Область значень Е(у) = [-2; 4].

  3. Парність. Функція ні парна, ні непарна.

  4. Точки перетину графіка функції з віссю у. Одна точка - (0; 1).

  5. Нулі функції та проміжки знакосталості. Функція має два нулі: х1 = 2 і х2 = 9. f(x) > 0, якщо, a f(x) < 0, якщо х є (2; 9).

  6. Монотонність. Функція спадає на двох проміжках х є (-2; 6) і x є (18; 24); зростає функція на одному проміжку х є (6; 18).

  7. Функція неперервна. Має найбільше значення у = 4 і най­менше значення у = -2.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання: Розділ І § 5. Властивості функцій, №203 (а), 210 (а, б), 213 (а, г)

7

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]