7 раб
.docМетодические рекомендации к выполнению практической работы №7.
Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
-
Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.
-
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
-
Тригонометрическая форма комплексного числа.
-
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1. Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.
Определение 1: Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:
1). Два комплексных числа и называются равными, если , ;
2). Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ;
3). Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число ;
Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа, где называется действительной частью комплексного числа, а -мнимой частью.
Пример1: 7+3i
Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел. Поэтому его можно записать так: .
Пример: 4=4+0i
Определение 2: Комплексное число называется комплексно сопряженным
с числом и обозначается , то есть .
Пример2: 2+5i и 2-5i
Определение 3: Модулем комплексного числа называется число : . Причем .
Комплексное число можно изобразить двумя способами:
1. Точкой плоскости с координатами (а;в).
При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа- точками оси ординат, которую называют мнимой осью.
2. В виде вектора с началом в начале координат () и концом в точке М(а;в) ( ).
Каждой точке плоскости с координатами (а;в) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(а;в),поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора .
Определение 4: Угол φ между действительной осью ОХ и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа. Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, иначе- отрицательной.
Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называется главным значением аргумента.
Из определения тригонометрических функций следует:
Пример3:
Изобразить геометрическую интерпретацию комплексного числа, найти модуль комплексного числа и главное значение аргумента.
а). ; б). ; в)..
Решение:
а).
;
б).
;
в).
2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение и умножение комплексных чисел мы ввели в определении комплексного числа. Введем правила вычитания и деления комплексных чисел: ;
.
Но удобнее всего действия над комплексными числами производить с помощью правил соответствующих действий над многочленами и понятием мнимой единицы.
Пример4:
Выполнить действия:
а). ; б). ; в). ; г).; д). ; е). ;
ж). ; з). ; и). ; к). .
Решение:
а). ;
б). ;
в). ;
г).;
д). ;
е). ;
ж). ;
з). ;
и). ;
к). .
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Изобразим комплексное число геометрически:
Обозначим модуль комплексного числа .
Аргументом комплексного числа называется угол φ, который вычисляется с помощью формул:
но , тогда
и
Подставим получившиеся формулы в , получим:
,тогда
- тригонометрическая форма комплексного числа.
Алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:
-
Найти: .
-
Изобразить геометрически число , для нахождения четверти числа φ.
-
Составить уравнения: и найти φ.
-
Записать z в тригонометрической форме .
Примеры: а).Перевести числа из алгебраической формы в тригонометрическую.
1). .
1. .
2. Изобразим геометрически:
Значит φ принадлежит I четверти.
3. .
4..
2). .
1. .
2. Изобразим геометрически:
, так как z принадлежит положительной полуоси ОУ.
Значит 3 пункт можно опустить.
4. .
3).
1. .
2. Изобразим геометрически:
φ принадлежит II четверти.
3. .
4.
б). перевести из тригонометрической формы в алгебраическую:
1).
Решение:
.
2).
Решение:
.
4. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть даны два числа в тригонометрической форме: и .
1). При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:
.
2). При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются:
.
3). При возведении комплексного числа в n-ую степень используется формула:
, которая называется формулой Муавра.
4). Для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа используется формула:
.
Примеры:
Дано: , .
Найти: 1). , 2). , 3). , 4). .
Решение: 1).
2).
3).
4).
Практическая работа№7.
Тема: Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.
Цель: Научить выполнять различные действия с комплексными числами; переводить комплексные числа из алгебраической формы и обратно;
Задания:
I-B II-B
1. Выполнить действия с комплексными числами в алгебраической форме:
1). , 1). ,
2). , 3). . 2). , 3). .
2. Записать комплексные числа в тригонометрической форме:
1). , 2). , 3). . 1). , 2). , 3). .
3. Выполнить действия с комплексными числами в тригонометрической форме: 1). , 2). , если:
, ,
. .
Ответы к практической работе № 6:
I-B. II-B.
1. 1). , 1. 1).
2). , 2). ,
3). . 3). .
2. 1). , 2. 1). ,
2). , 2). ,
3). . 3)..
3. 1). , 3. 1). ,
2). . 2). .