Статистика_Васенкова

41

Кроме подбора кривых роста, для выявления видов тренда используются методы выравнивания (сглаживания):

1)визуальный метод;

2)скользящей средней;

3)экспоненциального сглаживания;

4)последовательных разностей.

Визуальный метод состоит в том, что через заданное множество уровней ряда динамики, изображенных точками на плоскости, проводят некоторую ломаную линию, оценивающую тренд.

Метод скользящей средней состоит в том, что для каждых из m (m<n), соседних уровней ряда (у1,у2,...,уm) вычисляется среднее значение, затем, не изменяя общего числа слагаемых, исключают у1 и добавляют уm+1, для которых также вычисляют среднее значение и т.д.

Таким образом, шкала сглаживания как бы скользит по временному ряду с шагом равным единице. На практике обычно m выбирается нечетным числом, чтобы расчетное среднее значение приходилось на фактически наблюдаемый уровень ряда (на практике m=3; 5 или 7).

Тогда

	1 t+ p
ót =	2 ð + 1t=åt− ðót , где m=2p+1, p= m2− 1 .

Экспоненциальное сглаживание состоит в исчислении взвешенной суммы соседних уровней временного ряда с учетом уменьшения весов назначаемых прошлым наблюдением по формуле:

t	ót + α (1 − α ) ót − 1 + α (1 − α )2 ót − 2 +
yt (å) = Qt = å α (1 − α )k ót − k = α
k = 0
+ ... + α (1 − α )t ó0 ,

где 0<α<1.

В более удобном виде последнюю формулу можно записать: Qt = α × ót + (1 − α ) × Qt −1

где α – коэффициент, характеризующий величину веса текущего наблюдения (параметр сглаживания). На практике параметр α выбирается в интервале [0,1; 0,3].

Метод последовательных разностей применяется для сглаживания временного ряда трендом полиномиального вида степени k: уt = Tt + εt , где

Tt = 1 + α0 t + α1 t2 +…+ αk tk.

Алгоритм данного метода состоит из последовательности этапов:

42

1)Вычисляют абсолютные цепные приросты уровней ряда и сравнивают их по величине между собой. Если все величины совпадают, то делают вывод о линейной кривой роста (табл. 1, п. 1).

2)Если цепные приросты предыдущего пункта не равны между собой, то переходят к вычислению цепных абсолютных приростов второго порядка и опять проверяют их на совпадение по величине. Если они равны между собой, то делают вывод о квадратичном характере ТРЕНДа (табл. 1,

п.2).

3)Если величины в предыдущем пункте не равны, то переходят к вычислению цепных приростов третьего порядка и т.д., повторяя анализ предыдущих пунктов.

Чаще других используется следующая модель:

Yi = Ti + Si + εi данные = линейный тренд + сезонность + случайные колебания

∙Особенность линейного тренда: представляет собой прямую линию.

∙Особенность сезонного слагаемого: нулевая сумма по периоду (Σ Si = 0).

∙Особенность остатков: нулевое среднее, независимость остатков, отсутствие тенденции.

На основании указанных требований производится декомпозиция временного ряда на три составляющие. Общая последовательность действие такова:

1)Сглаживание ряда данных по периоду. При сглаживании охватывается отрезок времени, равный одному периоду, с центром в текущей точке. Часть данных при этом теряется.

2)Вычисление разности наблюдаемых значений и сглаженного ряда. Для этого данные за несколько периодов усредняются. Также проверяется равенство нулю суммы слагаемых за сезон, при необходимости вносится поправка.

3)Вычитание сезонного слагаемого из исходных данных и построение линии тренда.

43

4)Построение прогнозного ряда как суммы тренда и сезонного слагаемого.

5)Вычисление остатков и оценка точности прогноза. Остатки должны быть независимыми и не проявлять явно выраженной тенденции. Остатки позволяют убедиться в адекватности модели и грубо оценить точность прогноза.

Для построения аддитивной модели может быть использована процедура регрессии с использованием фиктивных переменных. Число фиктивных переменных определяется количеством периодов сезонности.

В большинстве ситуаций описанные методы прогнозирования дают приблизительно одинаковые значения прогнозов.

Для оценки адекватности выбранной модели можно использовать следующие методы:

∙анализ остатков. Остатки должны быть независимыми и не должны содержать ярко выраженной тенденции. Применяется графический анализ

икритерий Дарбина-Уотсона.

∙при наличии достаточного числа исходных данных примерно 2/3 наблюдений в начале исследуемого диапазона используются для предсказания на оставшемся отрезке. Оставшаяся 1/3 данных используется для проверки и сравнения результатов.

Оценивание сезонных колебаний

Сезонная компонента рядов динамики особенно часто проявляется в условиях постоянно повторяющихся в течение года конъюнктурных экономических процессов (летних отпусков, рождественских распродаж, весенних и осенних полевых работ в сельском хозяйстве и т.д.).

Наиболее важными показателями сезонных колебаний являются: 1) размах сезонных колебаний:

Rсез. = уmax – уmin;

2) коэффициент сезонных колебаний (в течение периода наблюдения временного ряда):

К сез. =	уmax	;
	уmin

3) индексы сезонных колебаний, характеризующие помесячные сезонные колебания, исчисляемые одним из следующих способов:

44

iñåç1 . (t) =	ót	× 100% ; iñåç2 . (t) =	ót	× 100% ; iñåç3 . (t) =	ót	× 100% ; t = 1,...,12.
	ót
			ómax		ómin

Здесь уt может быть скользящая средняя или средняя другого типа,

сглаживающая уровни ряда для оценки тренда.

4) обобщающую характеристику величины сезонных колебаний можно получить при помощи следующих статистических показателей:

12

4.1. Среднелинейное отклонение:

å

уt

- yt

.

=

t= 1

d

12

4.2. Среднеквадратичное отклонение: σ

у =

å (уt -

уt )2

12

или ее находят

по

данным

индексов

сезонных колебаний:

σ i =

å (iсез. (t) - 100)2

.

12

å (уt

å (iсез. (t) − 100)2

2

− уt )2

2

=

4.3. Дисперсия: σ у =

12

или σ i

12

,

Коэффициент вариации ряда динамики: V = σуу ×100 %.

t

4.5. Средние относительные величины сезонных (месячных) колебаний:

å	уt	− 1	.
	уt
k =	12	100%
	Пример6.1 . Потребление электроэнергии на предприятии (тыс.
кВт·ч) представлено в табл.6.2 исходных данных.
	Таблица. 7.2 - Расчет индексов сезонности
Месяц		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
год
2004		77	70	62	60	44	44	43	43	45	60	63	76
2005		72	68	60	54	42	41	41	42	43	59	63	70
2006		75	71	63	60	45	43	42	45	51	62	65	71
Среднее		74,7	69,7	61,7	58,0	43,7	42,7	42,0	43,3	46,3	60,3	63,7	72,3
i (%)		132,1	123,2	109,1	102,6	77,2	75,5	74,3	76,7	82,0	106,7	112,6	128,0

Необходимо рассчитать индексы сезонности, а также изобразить их графически.

Решение:

а) на первом этапе рассчитывается среднегодовое потребление электроэнергии для каждого месяца ( уi , i=1,…,12):

45

у1 =	77 + 72 + 75	= 74,7 , …,	у12 =	76 + 70 + 71	= 72,3	тыс. кВт·ч;
	3			3

б) на втором этапе рассчитывается среднемесячное потребление за все годы:

у = 121 (75 + 70 + ...+ 72) = 56,53 тыс. кВт·ч.

Тогда индексы сезонности примут вид соответствующий последней строке табл. 3:

i1 = 56,5374,7 × 100% = 132,1% , i2 = 56,5369,7 × 100% = 123,2% и.т.д.

140
100
60
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	Рис.7.1- Сезонная волна

Литература

1.Сигел Э. Практическая бизнес - статистика, гл.11-13

2.Newbold P. Statistics for business and economics, ch.12-14

3.Елисеева И.И. Эконометрика, гл. 6

46

Литература

1.Сигел Э. Практическая бизнес-статистика.-М: Издательский дом «Вильямс», 2002

2.Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2005

3.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.; Финансы и статистика, 2005

4.Макарова Н.В., Трофимец В.Я. Статистика в EXCEL, 2002

5.Эконометрика: учебник / Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др.; под редакцией Елисеевой И.И. – М.: Финансы и статистика, 2005

6.Вадзинский Р. Статистические вычисления в среде Excel. – СПб.: Питер, 2008 г.

7.Теория статистики: учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.- М.: Финансы и статистика, 2000

8.Хацкевич Г.А. Статистика: описательный подход; учеб.поc. – Мн.-Ин-т упр.и предпр., 2002г.

9.Тюрин Ю.Н., Макаров В.А. Анализ данных на компьютере / Под редакцией Фигурнов В.Э. – М.: ИНФРА-М, 2003.

10.Newbold P. Statistics for business and economics, 2005

11.Anderson D.R., Sweeney D.J., Williams T.A. Statistics for business and economics, 2005

12.Ahmadi M. Workbook to "Statistics for business and economics", 2005

13.Trosset M.W. Introduction to statistical inference and data analysis, 2001