Teoriy_chisel_Lekcii-Sizuy

Пусть М - наименьшее общее кратное чисел 1,2,...,m. Сейчас я докажу, что все числа ak,l в коэффициенте An рациональные, а числа Mnak,l будут целыми. Число ak,l равно вычету в точке t=k подынтегральной функции из интеграла (♣), т.е. равно коэффициенту при (t-k)-1 в разложении этой функции в ряд Лорана по степеням (t-k). Стиснем зубы и найдем это разложение.

Пусть s N, 1≤s≤m, s≠k. Имеем:

.

Если положить t-k=Mu и разложить функцию 1/(t-s) в ряд по степеням u, то получится:

,

где bν=-(M/ s-k)ν+1. Этот ряд абсолютно сходится в круге |u| < |s-k|/M.

Очевидно, что числа bν=-(M/ s-k)ν+1 целые, т.к. М– наименьшее общее кратное чисел

1,2,...,m, а число |s-k| – целое и 1≤|s-k|≤m-1.

Теперь, для того, чтобы получилось нечто похожее на подынтегральное выражение из строчки (♣), надо перемножать ряды

в подходящих степенях и при разных s. Произведение

есть кусок подынтегрального выражения в (♣) , оно отличается от самого подынтегрального выражения отсутствием множителя (t-k)l / (t-k)nk+1 = (t-k)l-nk-1. Стало быть, это произведение содержит (n1+1)+...+(nk-1+1)+(nk+1+1)+...+(nm+1)=n-nk сомножителей вида 1 / t-s. Посчитаем,

наконец, это произведение:

,

где все cν, очевидно, целые числа, т.к. они есть суммы произведений целых bν (так уж ряды перемножаются, тут ничего не попишешь). Тогда подынтегральная функция в (♣) равна

Это и есть искомое разложение в ряд Лорана. Нетрудно сообразить, что показатель ν+l-nk-1 равен -1 при ν=nk-l. Значит, искомый вычет есть

ak,l = cnk-l / Mn-l,

и является рациональным числом. Ну тогда, бесспорно, число Mnak,l - целое. Далее все просто. Обратим снова свой взор на коэффициенты ряда Ньютона:

η=eξ,

,

Если обозначить через r=max nk=n1, 1≤k≤m, то, очевидно, выражение

будет многочленом с целыми коэффициентами от двух переменных ξ и η, его степень по переменной ξ не превосходит r, а степень по переменной η не превосходит m. Это и есть те самые многочлены с целыми коэффициентами, которые мы запланировали построить на втором этапе нашего доказательства.

Оценим высоту Hn (максимум среди абсолютных величин коэффициентов) многочлена Pn. Помним, что

l=0,1,...,nk, k=1,2,...,m

Поскольку t Гk и радиус Гk мы взяли 1/3, то |t-k| < 1/2, а при s≠k, |t-s| > 1/2. Значит,

и высота Hn многочлена Pn удовлетворяет неравенству

Hn<r!(2M)r.

Оценим, наконец, |Pn(ξ,η)| сверху. В конце первого этапа мы получили оценку:

|An| < eγn / nn = eγn-nln n.

Поскольку Pn(ξ,η)=r!MnAn, а r≤n/m, то

|Pn(ξ,η)|<eγn-nln n+nln M+rln r<e-(m-1 / m)nln n+Cn,

где С>0 - константа, не зависящая от n.

Этап 3. Оценка |Pn(ξ,η)| снизу.

Пусть α1,α2,...,αm – алгебраические числа, Q – поле рациональных чисел, K=Q[α1,α2,...,αm] - алгебраическое расширение поля Q, h - степень этого алгебраического расширения.

Напомню, что степенью алгебраического расширения называется степень примитивного минимального многочлена, корнями которого это расширение порождается. Это означает, что у каждого порождающего элемента поля K=Q[α1,α2,...,αm] (примитивного элемента из K) имеется h штук сопряженных. В алгебраическом поле K=Q[α1,α2,...,αm] степени h максимальное число линейно независимых над Q элементов равно h .

Сейчас мы докажем основной факт третьего этапа: Для любого многочлена с целыми коэффициентами P(z1,z2,...,zm) степени k и высоты H , существует постоянная c=c(α1,α2,...,αm)>0 такая, что:

либо |P(α1,α2,...,αm)| ≥ ck/Hh-1,

либо P(α1,α2,...,αm)=0.

Таким образом, алгебраические числа α1,α2,...,αm произвольный многочлен с целыми коэффициентами либо обращают в ноль (в этом случае говорят, что числа α1,α2,...,αm являются алгебраически зависимыми), либо значение этого многочлена находится достаточно далеко от нуля.

Пусть αi=αi(1),αi(2),...,αi(h) – все сопряженные с αi в поле K=Q[α1,α2,...,αm], 1≤i≤m. Введем два

обозначения. Через обозначим размер алгебраического числа αi, – максимальный из модулей чисел, сопряженных с αi. Через ||αi||K обозначим норму алгебраического числа αi в поле K, ||αi||K=αi(1),αi(2),...,αi(h) – произведение всех сопряженных с αi. Проверьте сами, что ||αi||K действительно удовлетворяет всем аксиомам нормы.

Еще одно замечание. Целым алгебраическим числом называется алгебраическое число, минимальный многочлен которого (у него старший коэффициент всегда единица) имеет целые коэффициенты. Так, например, √3 и 1+ √5 / 2- целые алгебраические числа, а - √3 / 2 не целое, т.к. их минимальные многочлены суть, соответственно, x2-3, x2-x-1 и x2 - 3/4. Если α - не целое алгебраическое число, то всегда можно подобрать некоторое натуральное число r такое, что rα будет корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1, т.е. будет целым алгебраическим числом. Множество целых алгебраических чисел поля K обозначим через ZK. Несложно проверить, что ZK - кольцо и всегда Z ZK.

Приступим к доказательству основного факта третьего этапа. Предположим, что P(α1,α2,...,αm)≠0. Подберем натуральное число r так, что rα ZK, i=1,...,m. Так как многочлен Р степени k c целыми коэффициентами, то

β=rkP(α1,α2,...,αm) ZK, β≠0.

Возможны два случая.

Случай 1. h=1 (т.е. K=Q ). Тогда

|β|=rk|P(α1,α2,...,αm)|≥1, |P(α1,α2,...,αm)|≥1 / rk.

Случай 2. h > 1. Обозначим

Aj=P(α1(j),α2(j),...,αm(j)), j=1,...,h.

Числа A1,...,Ah будут сопряженными в поле K. По свойствам нормы

|||β||K|=|||rkA1||K|=rkh|A1A2...Ah|≥1.

Отсюда вытекает, что

.

Если

ck1,...,km Z,

то

.

Ну, тогда из двух последних неравенств следует

,

а, собственно, это и требовалось доказать.

Наступил тот славный момент, когда у нас все готово для того, чтобы достойно завершить доказательство теоремы Линдемана. Давайте проделаем это. От противного. Ну пусть ξ≠0 и η=eξ - алгебраические числа, h - степень алгебраического расширения K=Q[ξ,η], h>1. Разложим eξz в ряд Ньютона с периодической целочисленной последовательностью узлов интерполяции

1,2,...,m-1,m,1,2,...,m-1,m,1,2,... ,

где m=h+1. Построим наши пресловутые многочлены Pn(ξ,η). Мы только что доказали, что либо Pn(ξ,η)=0, либо

где (вспоминаем устройство многочленов Pn(ξ,η). Мы только что доказали, что либо Pn(ξ,η)=r!MnAn и оценку их высоты из второго этапа):

k≤r+m. H≤r ln r+n ln (2M), r≤n/m.

Отсюда моментально получается, что:

где D>0 - некоторая подходящая константа. Последнее неравенство и неравенство

,

полученное в конце второго этапа, при достаточно больших n противоречивы, значит, при всех достаточно больших n остается только возможность Pn(ξ,η)=r!MnAn. Это означает, что, начиная с некоторого номера, все An=0, т.е. ряд Ньютона функции eξz содержит лишь конечное число членов и функция eξz является многочленом. Но этого не может быть потому, что не может быть никогда. (Например, потому, что функция eξz периодическая, а любой нетривиальный многочлен - нет). Этим и заканчивается доказательство теоремы Линдемана.

♦

Закончился последний пункт нашей небольшой книжки по теории чисел, но я не буду говорить здесь никаких прощальных слов, ибо, как всегда во всех сказках, самое интересное только еще начинается. Идите вперед! Изучайте теорию чисел и она оправдает ваши надежды. Числа не подвержены инфляции, политическим и экономическим потрясениям, коррупции и обману. Математика не может приносить разочарований, она приносит только восхищение окружающим миром и человеческим разумом. Я желаю вам - Будьте счастливы!

Список литературы, в которую поглядывал автор при написании этой книжки.

1.И. М. Виноградов. "Основы теории чисел". М., Наука, 1981.

2.Дж. Окстоби. "Мера и категория". М., Мир, 1974.

3.А. Б. Шидловский. "Трансцендентные числа". М., Наука, 1987.

4.А. Я. Хинчин. "Цепные дроби". М., Гос. Изд-во Физ.-Мат. Лит., 1961.

5.А. А. Карацуба. "Основы аналитической теории чисел". М., Наука, 1975.

6.В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Ч. Крафт, Е. Янцен. "Живые числа". М., Мир, 1985.

7.Д. Кнут. "Искусство программирования для ЭВМ", том 2 - "Получисленные алгоритмы".

М., Мир, 1977.

8.Д. Я. Стройк. "Краткий очерк истории математики". М., Наука, 1990.

9.Ф. Клейн. "Элементарная математика с точки зрения высшей". М., Наука, 1987.

10.Н. И. Фельдман. "Седьмая проблема Гильберта". Изд-во МГУ, 1982.

11.Д. К. Фаддеев. "Лекции по алгебре". М., Наука, 1984.

12.А. И. Кострикин. "Введение в алгебру". М., Наука, 1977.

13.Д. Пойа. "Математика и правдоподобные рассуждения". М., Наука, 1975.

14.Г. Вилейтнер. "История математики от Декарта до середины ХIX столетия". М., Наука, 1966.

15.Ж. П. Серр. "Курс арифметики". М., Мир, 1982.

16.А. И. Маркушевич. "Краткий курс теории аналитических функций". М., Наука, 1978.

17.Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. "Избранные задачи и теоремы элементарной математики". М., Наука, 1976.

18.С. В. Сизый, В. Б. Савинов, Е. Л. Сафронович, Л. Ф. Спевак, М. В. Дунаев. "Книжка, прочитанная вслух". Екатеринбург, УрГУ, 1995.

19.Р. Грэхем. "Начала теории Рамсея". М., Мир, 1984.

20.Б. П. Демидович. "Сборник задач и упражнений по математическому анализу". М.,

Наука, 1990.

21.И. В. Проскуряков. "Сборник задач по линейной алгебре". М., Наука, 1974.