КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
«Никто не сомневается в точности результатов,
получаемых при вычислениях с мнимыми количествами,
хотя они представляют собой только алгебраические
формы и иероглифы нелепых количеств»
Л. Карно1
Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений, поскольку, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.
Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя.
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Формула для решения уравнения х3+рх+q=0
x=
содержит кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело три действительных корня (например, х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано2 в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х+у=10, ху=40, не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида х=5, у=5, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что =-а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли3, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт4, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер5 предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа («мнимой» единицы); этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу6 (1831).
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.
Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на формуле английского математика А. Муавра7 (1707).
В конце XVIII века с помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще ранее швейцарский математик Я. Бернулли8 применил комплексные числа для вычисления интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.
В конце XVIII – начале XIХ веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель9, француз Ж. Арган10 и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z=a+ib точкой M(a,b) на координатной плоскости. При этом их рассуждения сводились к следующему. Подобно тому, что всю область действительных величин можно представить с помощью бесконечной прямой, можно себе представить область всех величин, действительных и мнимых, с помощью бесконечной плоскости, где каждая точка, определенная своей абсциссой а и своей ординатой b, представляет в то же время величину a+ib. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
Учение о комплексных числах и теория функций комплексного переменного нашли в ХХ веке важнейшие применения в естествознании и технике, в частности в теории электричества и электротехнике, в динамике, аэродинамике и теории упругости. Особенно следует отметить применение комплексных чисел к нахождению профиля крыла самолета и к выводу основных закономерностей теории самолета.
-
Основные понятия. Комплексная плоскость.
Термин «комплексные числа» означает числа, составленные из разного рода единиц: 1 и i (лат. слово complexus означает «совокупность, соединение, состав»).
Комплексным числом называется выражение вида х+iy,
где х, у – действительные числа;
i – мнимая единица – число особого рода, квадрат которого равен –1, т.е.
-
i2=-1
Тогда i3=i2i=-i ; i4=i2i2=1 ; i5=(i2)2i=i
Примеры.
i97=(i4)24i=i; i127=(i4)31i3=-i
z=х+iy |
- алгебраическая форма записи комплексного числа |
х=Re(z) – действительная часть числа z ;
y=Im(z) – мнимая часть числа z.
Замечание. Действительное число х является частным случаем комплексного числа z=х+iy при у=0.
Множество всех комплексных чисел обозначается через С.
RС
=х-iy – комплексно сопряженное число с числом z.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел:
Для изображения комплексных чисел используются точки координатной плоскости Оху.
Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z=х+iy ставится в соответствие точка плоскости z(х,y), причем это соответствие взаимно однозначное. |
В этой плоскости ось Ох называется действительной, а ось Оу – мнимой осью.
С каждой точкой z(х,y) комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки .
Модулем комплексного числа z называется длина его радиуса-вектора:
-
r=z=
Аргументом комплексного числа z называется угол между действительной осью Ох и радиусом-вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси против часовой стрелки: =arg z
Замечания:
1) Для числа z=0 аргумент не определен;
2) Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: любое число z, неравное нулю, имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2.
Главным значением аргумента называется наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка -<.
-
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами.
Пусть z1=х1+iy1, z2=х2+iy2
1) |
z1+z2=(х1+х2)+i(у1+y2) |
2) |
z1-z2=(х1-х2)+i(у1-y2) |
3) |
z1z2=(х1х2-у1y2)+i(х1у2+х2y1) |
Свойства операций сложения и умножения:
1 z1+z2=z2+z1 2 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
3 z1+0=z1 4 z1+(-z1)=0
5 z1z2=z2z1 6 (z1z2)z3=z1( z2z3)
7 z11=z1 8 z1z1-1=1
9 z1(z2+z3)= z1z2+z1z3
4) |
, z20 |
Свойства операций с комплексно сопряженными числами:
1 2
3 zR z= 4 z – мнимо z=-
5 z+R 6 zR
5) z1=z2 Re(z1)=Re(z2), Im(z1)=Im(z2)
z=0 Re(z)=Im(z)=0
Пример. Пусть z1=12+5i, z2=3-4i . Найти сумму, разность, произведение и частное чисел z1 и z2 .
z1+z2=(12+5i)+(3-4i)=15+i ; z1-z2=(12+5i)-(3-4i)=9+9i
z1z2=(12+5i)(3-4i)=36-48i+15i-20i2=56-33i