Эконометрика / 5

 

1.     Парная линейная регрессия.

2.     Метод наименьших квадратов.

3.     Коэффициент корреляции.

 

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь. Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

y=a+bx.

         Оно определяется по данным о значениях признаков х и у в изучаемой совокупности, состоящей из n единиц. Для нахождения параметров уравнения a и b использовался  метод наименьших квадратов.

         Исходное условие метода наименьших квадратов для прямой линии имеет вид:

         Для отыскания значений параметров a и b, при которых принимает минимальное значение, частные производные функции приравниваем к нулю и преобразуем получаемые уравнения, которые называются нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для прямой:

Отсюда система нормальных уравнений имеет следующий вид :

                                     (1)

Решая эту систему определяем значения переменных a и b.

Теснота парной линейной корреляционной связи измеряется коэффициентом корреляции r_xy:

                                     (2)

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, который заключается в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_крит значений -критерия Фишера. F_факт определяется по следующей формуле:

.

где  - коэффициент детерминации;

      n – число единиц совокупности.

F_крит – это максимально возможное значение критерия при данных степенях свободы (1, n-2) и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

Если фактическое значение -критерия больше табличного , то гипотеза Н₀отклоняется, т.е. признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии.

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его случайная ошибка:  и .

Случайные ошибки коэффициентов регрессии определяются по формулам:

.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции m_r:

.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается -критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

;    ;      .

Сравниваем фактические и критические (табличные) значения -статистики. Если t_факт>t_крит(α,n-2), то Н₀ отклоняется, т.е. a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и все они статистически значимы. Иначе, гипотеза Н₀ о случайной природе показателей принимается.