Эконометрика / 11
.docx
1. Классы нелинейных регрессий.
2. Параболическая форма зависимости.
3. Гиперболическая форма зависимости.
4. Экспоненциальная форма зависимости.
5. Степенная форма зависимости.
Между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, которые выражаются с помощью нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам Примерами таких регрессий являются функции:
—полиномы разных степеней;
—равносторонняя гипербола.
2. К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
—степенная;
—показательная;
—экспоненциальная.
Нелинейная регрессия по включенным переменным определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), так как эти функции линейны по параметрам.
1. Параболическая форма зависимости.
Уравнение регрессии параболы 2-го порядка имеет следующий вид:
Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболической зависимости таковы:
Решая эту систему уравнений, получаем значения параметров a, b и c.
Парабола второй степени при b > 0 и с < 0 симметрична относительно точки максимума, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста, с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника.
При b < 0 и с > 0 парабола второго порядка симметрична относительно минимума функции в точке, меняющей направление связи, а именно снижение на рост.
2. Гиперболическая форма зависимости.
Уравнение регрессии гиперболы имеет следующий вид:
Из системы нормальных уравнений метода наименьших квадратов для гиперболы:
определяются значения коэффициентов гиперболического уравнения регрессии a и b.
Гиперболическая зависимость может быть использована на микро- и макроуровне - например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота. Классическим ее примером является кривая Филлипса, характеризующая соотношение между нормой безработицы и процентомприроста заработной платы.
Рассмотрим регрессию, нелинейную по оцениваемым параметрам
3.Экспоненциальная форма зависимости.
Общий вид экспоненциального уравнения регрессии:
или .
Для упрощения алгоритма обработки выборочной совокупности проводится линеаризация экспоненциального уравнения регрессии путем логарифмирования второго из представленных уравнений
.
Проведя замену ln y на z, получается линейное уравнение вида:
z=a+bx.
Далее используя систему нормальных уравнений для линейной зависимости
определяем параметры уравнения регрессии a и b. Производя обратную замену, получаем эмпирические значения результирующего признака.
4. Степенная форма зависимости.
Общий вид степенного уравнения регрессии:
.
Логарифмирование данного уравнения приводит его к линейному виду:
Оценки параметров a и b уравнения могут быть найдены МНК. Система нормальных уравнений имеет вид:
Параметр b определяется из системы, а параметр a – потенцированием выражения lna.
Показателем тесноты нелинейной корреляции является индекс корреляции, вычисляемый по формуле:
,
где - индивидуальные значения у по уравнению связи.
Индекс корреляции находится в границах: 0 < R < 1 и чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, более надежно найденное уравнение регрессии.
Индекс детерминации R2 используется для проверки статистической значимости в целом уравнения нелинейной регрессии по -критерию Фишера:
,
где – число параметров при переменных х; – число наблюдений.
Если , то гипотеза Н0 о статистической не значимости уравнения регрессии отклоняется.
Для степенной функции , гиперболы , экспоненты формула -критерия имеет вид:
.
Для параболы второй степени :
.