Эконометрика / 10

 

1. Оценка значимости параметров линейной регрессии и корреляции.

2. Оценка значимости параметров нелинейной регрессии.

3. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.

 

1. Оценка значимости параметров линейной регрессии и корреляции.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, который заключается в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_крит значений -критерия Фишера. F_факт определяется по следующей формуле:

.

где  - коэффициент детерминации;

      n – число единиц совокупности.

F_крит – это максимально возможное значение критерия при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

Если фактическое значение -критерия больше табличного, то гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии.

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его случайная ошибка:  и .

Случайные ошибки коэффициентов регрессии определяются по формулам:

.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции m_r:

.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается -критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

;    ;      .

Сравниваем фактические и критические (табличные) значения -статистики. Если t_факт>t_крит, то Н₀ отклоняется, т.е. a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и все они статистически значимы. Иначе, гипотеза Н₀ о случайной природе показателей принимается.

 

2. Оценка значимости параметров нелинейной регрессии.

Для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по -критерию Фишера используется индекс детерминации R². Для степенной функции  формула для определения -критерия имеет тот же вид, что и при линейной зависимости

.

Для параболы второй степени :

.

 

3. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью -критерия Фишера:

,

где  – коэффициент (индекс) множественной детерминации;  – число факторов, включенных в модель;  – число наблюдений.

Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и каждого фактора, включенного в регрессионную модель. Мерой оценки служит частный -критерий. Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:

         ,    .   

Зная величину , можно определить и -критерий для коэффициента регрессии при -м факторе, , а именно:

.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных -критериев. В этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:

,

где  – коэффициент регрессии при факторе ,  – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии .

Для уравнения множественной регрессии  ошибка коэффициента регрессии может быть определена по следующей формуле:

,

где  – среднее квадратическое отклонение для признака ,  – среднее квадратическое отклонение для признака ,  – коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии,  – коэффициент детерминации для зависимости фактора  со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии;  – число степеней свободы.

Взаимосвязь показателей частного коэффициента корреляции, частного -критерия и -критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии может использоваться в процедуре отбора факторов. Отсев факторов при построении уравнения регрессии методом исключения практически можно осуществлять не только по частным коэффициентам корреляции, исключая на каждом шаге фактор с наименьшим незначимым значением частного коэффициента корреляции, но и по величинам  и .