Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Матем / 1

.docx
Скачиваний:
78
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
54.3 Кб
Скачать

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ

 

1. Понятие определителя n-го порядка.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

3. Теорема Лапласа.

4. Матрицы и их виды.  Действия над матрицами.

5. Обратная матрица.

6. Ранг матрицы.

 

1.      Понятие определителя n-го порядка.

Определитель n-го порядка записывается в виде квадратной  таблицы, содержащей n строк и n столбцов:

Числа аij  - элементы определителя,  i – номер строки, j –номер столбца,  n - порядок определителя.

Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной, а другая называется побочной.

Определителем n-го порядка называется число, являющееся  алгебраической суммой n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.

Основные свойства определителей  n - го порядка.

1.     При замене строк столбцами значение определителя не меняется.

2.     При  перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3.     Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

4.     Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

5.     Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

6.     Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и  то же число.

7.     Если элементы какой-нибудь строки (столбца) являются линейной комбинацией соответствующих элементов двух (или нескольких)  других строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

 

2.      Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Величину  называют определителем (детерминантом) второго порядка и обозначают  .

Таким образом,

         =

Определителем третьего порядка называют величину

Эта формула называется правилом Сарруса (правило «треугольников») для вычисления определителей 3-го порядка. Для лучшего запоминания  формулы  можно составить таблицу Сарруса, добавив к определителю первый и второй столбцы. Тогда все члены будут представлять собой произведение элементов по диагоналям.

 

Примеры: Вычислить   определители:

а) 

 

 

 

3.      Теорема Лапласа.

Вычисление определителей более высоких порядков непосредственно весьма сложно, поэтому для их вычисления используют свойства определителей, а также теорему Лапласа, позволяющую понижать порядок данного определителя.

 

 

Пусть дан определитель:

 

Вычеркнем в этом определителе i-ую строку и j-ый столбец, на пересечении которых находится элемент аij.  Тогда получим определитель Mij

(n-1) – го порядка, который называют минором элемента  аij.

Алгебраическим   дополнением Аij элемента аij называют минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма индексов i+j – четное число, и со знаком (-), если эта сумма – число нечетное, т.е.

Аij = (-1)i+j Mij

Пример.   Дан определитель третьего порядка     

Найти минор  и алгебраическое дополнение  элемента а32 .

 

Решение.     ,    

Теорема Лапласа: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие  алгебраические дополнения равна определителю, т.е.

Эта  теорема  дает возможность разложить определитель по элементам какой-нибудь строки или столбца и свести его вычисление к вычислению определителей более низкого порядка. При этом вычисление определителя значительно упрощается, если среди элементов некоторой строки (столбца) имеются нули.

 

4.    Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

Матрицей размерности  kxn  называется прямоугольная таблица чисел:

.

Числа  аij называются ее элементами. В компактном виде матрицу можно записать:,  i=1, …, k,  j=1, …, n. Матрицы  обозначаются заглавными буквами А,В,С, …,  элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией.

Виды матриц.

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число строк равно числу столбцов и равно n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если  в матрице А переставить строки и столбцы местами, то получим новую матрицу АТ транспонированную к матрице А:

Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.

Квадратная матрица, у которой элементы вдоль главной диагонали равны 1, а остальные – нули, называется единичной матрицей. Она обозначается буквой Е.

Квадратная матрица n-го порядка называется вырожденной (особенной), если определитель n-го порядка, составленный из ее элементов, равен нулю. Если же этот определитель отличен от нуля, то матрица называется невырожденной (неособенной).

Две матрицы называются равными, если соответствующие элементы их тождественно равны.

Действия над матрицами.

1. Сложение (вычитание) матриц.

Две матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы, имеющие одно и то же число строк и одно и то же число столбцов, можно сложить (вычесть). При этом под суммой  (разностью) двух матриц понимают новую матрицу, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.

2.  Умножение  матрицы на  число.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент данной  матрицы  умножить на это число.

3. Умножение матриц.

Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы  совпадает с числом строк второй матрицы.

Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С, у которой элемент сijj,  стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов  i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В.  Матрица С имеет столько строк, сколько матрица А,  и столько столбцов, сколько матрица В. Правило умножения матриц называют « строка на столбец ».

Замечание:  операция умножения матриц  в общем случае не перестановочна, т.е. АВ ≠ ВА.

Пример. Найти произведение матриц  А и В:  С=АВ,

где,   .

Матрица А имеет 3 столбца, а матрица В - 3 строки, значит произведение  АВ существует, причем  матрица С  будет содержать две строки и четыре столбца. Вычислим все ее элементы:

с11=2·3 + 1·5 + 3·(-1)=8;                 с12=2·2 + 1·0 + 3·2=10;

с13=2·4 + 1·2 + 3·5=25;                   с14=2·1 + 1·3 + 3·4=17;

с21=4·3 + (-2)·5 + 5(-1)=-3;   с22=4·2 + (-2)·0 + 5·2=18;

с23=4·4+(-2)·2+5·5=37;  с24=4·1+(-2)·3+5·4=18;

Следовательно,   

 

5. Обратная  матрица.

Пусть А – невырожденная матрица n-го порядка.

●   Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную  получается единичная матрица, т.е.   А·А-1 = А-1·А = Е

Обратная матрица вычисляется по формуле

А-1 =,

где Аij – алгебраические дополнения к элементам аij матрицы А.

 

6.  Ранг матрицы.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначают rang А или r(A). Ранг матрицы  не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Пример. Вычислить ранг матрицы  

Вычислим все миноры 3-го порядка.

;             

Теперь вычислим минор 2-го порядка   

Так как существует ненулевой минор  второго порядка,   то r (A) = 2.

 

Соседние файлы в папке Матем