Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Карагандинский экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матем / 6

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

45.91 Кб

Скачать

☆

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

2. Правило Лопиталя для вычисления пределов функции.

3. Признаки возрастания и убывания функции.

4. Экстремум функции.

5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

6. Схема исследования функции и построение ее графика.

1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке (a;b) функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения в точке, то производная функция в этой точке равна нулю, т.е.

Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на (a;b) и диф

ференцируема на (a;b), тогда существует такая точка, что - формула Лагранжа или формула конечных приращений.

Теорема Лагранжа дает возможность установить признаки постоянства, возрастания и убывания функции.

Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на (a;b), дифференцируема в интервале (a;b), причем на концах интервала функция принимает равные значения, тогда существует такая точка, в которой

Если , то говорят, что между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции, имеется хотя бы один нуль ее производной, т.е. .

Теорема Коши. Если функции непрерывны на (a;b) и дифференцируемы в (a;b), причем, тогда существует такая точка , что справедлива формула

2. Правило Лопиталя для вычисления пределов

функции.

Теорема Лопиталя. Эту теорему называют правилом Лопиталя, которое применяют для раскрытия неопределенностей вида

Теорема: Если функции определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х₀, за исключением, может быть, самой точки, кроме того, причем, тогда предел отношения двух функций равен пределу отношения производных этих функций, т.е.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции.

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда.

Замечание 3. Неопределенности вида можно свести к неопределенностям вида.

Примеры:

а)

б)

3. Признаки возрастания и убывания функции.

Необходимый признак возрастания (убывания) функции:

Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на некотором промежутке Х, то производная этой функции неотрицательна (неположительна) на этом промежутке:

Достаточный признак возрастания (убывания) функции:

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то эта функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Геометрически этот признак означает, что если касательные к кривой в некотором промежутке образуют с осью ОХ острые углы, то функция возрастает, а если тупые углы, то убывает.

5. Экстремум функции.

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство f(x) < f (х₀) (f(x) > f (х₀))

Значения функции в точках max и min называются max и min функции или экстремумами функции.

Необходимый признак экстремума: Для того чтобы функция имела экстремум в точке х_0,необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Следствие: Если производная не имеет действительных корней, то функция не имеет экстремума.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

Замечание: критические точки обязательно должны входить в область определения функции, но они не обязательно являются точками экстремума.

Достаточные признаки экстремума:

1) Если при переходе через критическую точку х₀производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то эта точка есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума.

2) Если первая производная f′(x)дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х_0
, а вторая производная в этой точке f ′′ (х₀) > 0, то это точка минимума функции, а если

f ′′ (х₀) < 0, то это точка максимума.

6. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

Пусть в точке х₀кривая y = f(x) имеет касательную, не параллельную оси ОУ. Кривая называется выпуклой (вогнутой) в точке х₀, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже (выше) касательной в точке х₀.

Теорема: Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция вогнута (выпукла) на этом промежутке.

Точки перегиба.

Точка х₀ называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в этой точке кривая меняет выпуклость на вогнутость или наоборот.

Необходимый признак перегиба: Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Достаточный признак перегиба: Если при переходе через точку х₀ вторая производная дважды дифференцируемой функции меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба ее графика.

Замечание: Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

7. Асимптоты графика функции.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Теорема1: Если хотя бы один из пределов функции y = f(x) слева или справа от точки а равен бесконечности (∞), то прямая х = а является вертикальной асимптотой графика этой функции.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Теорема 2: Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших значениях х и существует конечный предел, тогда прямая х = b есть горизонтальная асимптота графика функции.