Матем / 2

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

1.                    Основные понятия и определения.

2.                    Метод Крамера для решения системы n линейных уравнений с n  неизвестными.

3.                    Матричный метод для решения системы n  линейных уравнений с n  неизвестными.

4.                    Метод Жордана-Гаусса для решения системы n  линейных уравнений с n неизвестными.

5.                    Теорема Кронекера-Капелли для исследования систем m  линейных уравнений с n  неизвестными.

6.                    Базисные и свободные переменные.

 

 

1.  Основные понятия и определения.

Система n  линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

             (1)

где а_ij (i=1, … n; j=1, …, n) – коэффициенты при неизвестных, в_i – свободные члены, х_j – неизвестные.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет  решений.

Совместная  система уравнений называется определенной,  если она имеет единственное решение, и   неопределенной, если она имеет более одного решения.

2. Метод Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Теорема Крамера.  Пусть  ∆ - определитель   матрицы А, который называют главным определителем системы, а  определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда,  если  ∆≠0, то система имеет единственное решение, определяемое  по формулам:

Эти формулы  называются формулами Крамера.

 

3.  Матричный метод для решения системы n  линейных уравнений с n  неизвестными.

Запишем  систему (1) в матричной форме.

Обозначим:

     

 

Тогда систему (1)  можно  записать в виде

             (2)

Предположим, что определитель. В этом случае существует обратная матрица А^-1. Умножая слева обе части матричного равенства  (2) на А^-1, получим

         (3)

По  формуле  (3) находят решение системы методом обратной матрицы.

 

4. Метод Жордана-Гаусса для решения системы n  линейных уравнений с n  неизвестными.

Алгоритм метода Жордана- Гаусса:

1 шаг. Рассмотрим одно из уравнений системы (1), назовем его разрешающим.

2 шаг. В этом уравнении выберем любое неизвестное с ≠ 0 коэффициентом (если есть возможность, то равным 1), назовем этот коэффициентразрешающим элементом.

3 шаг. Исключим выбранное неизвестное из всех уравнений, кроме разрешающего уравнения.

4 шаг. Повторяем шаги 1-3 для всех уравнений системы. Каждое уравнение должно быть разрешающим только один раз. После конечного числа шагов определяем решение системы или устанавливаем ее несовместность.

Процесс решения проводится в таблицах. Переход от одной таблицы к другой осуществляется по правилам:

1. Разрешающая строка делится на разрешающий элемент.

2. Разрешающий столбец дополняется нулями.

3. Если в разрешающей строке (столбце) имеются нули, то соответствующие им столбцы (строки) переписываются без изменения.

4. Остальные элементы вычисляются по правилу «прямоугольника»:

 

Пример. Решить систему методом Жордана- Гаусса.                            

 

                                                                                Решение.

 

Х1	Х2	Х3	В
2	-1	1	3
1	3	-2	1
0	1	2	8
0	-7	5	1
1	3	-2	1
0	1	2	8
0	0	19	57
1	0	-8	-23
0	1	2	8
0	0	1	3
1	0	0	1
0	1	0	2

 

Ответ: х₁ = 1;  х₂ = 2;  х₃ = 3.

 

 

5. Теорема Кронекера-Капелли для исследования систем m  линейных уравнений с n  неизвестными.

 

Пусть дана система m линейных уравнений  с n неизвестными:

      (4)

Выпишем основную матрицу системы:

и расширенную матрицу.

 

Вопрос о разрешимости системы  (4) в  общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера – Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и  только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

rang A=rang B=r.                                   (5)

При этом, если r=n, то система имеет единственное решение.

Если  r<n, то система имеет бесконечное множество решений.

 

6.  Базисные и свободные переменные.

Пусть r<n.

Любые r переменных системы (4) называются базисными (основными), если определитель матрицы коэффициентов при них, т.е. базисный минор, не равен нулю.

Остальные n – r переменных называются свободными (неосновными).

Решение системы уравнений (4) называется допустимым, если все         х_j   ≥0,   j = 1,…, n.

Базисным  решением системы (4) называется такое допустимое решение, в котором все n – r свободных переменных равны нулю.