Матем / 14

Тесты главы:  1. Математика в экономике 3кр итог13.12.2010(N)p с 2012-09-01 по 2012-12-29.     Пройти тест     Результаты теста 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

 

1.     Основные понятия и определения.

2.     Классическое определение вероятности.

3.     Основные формулы комбинаторики и их применение.

4.     Статистическое определение вероятности.

 

1.  Основные понятия и определения.

Многие явления в окружающем нас мире носят случайный характер, т.е. если явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Но если это явление наблюдать много раз при неизменных условиях, то оказывается, что его протекание можно описать с помощью чисел, т.е. количественно.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных массовых явлений независимо от их конкретной природы.

Методы теории вероятностей широко применяются в разных отраслях: в теории надежности, в теории массового обслуживания, в теории ошибок наблюдений, в теории автоматического управления и др.

Теория  вероятностей служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при организации производства, анализе технологических процессов и контроле качества продукции.

Испытание (опыт) – выполнение определенной совокупности условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется  тот или иной результат.

Исход –  возможный результат испытания

Событие -  один или несколько исходов ипытания.

Пример: Выход нестандартной детали с конвейера  предприятия.

Выход изделий – испытание

Появление нестандартной детали – событие.

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита:  А, В, С …

События подразделяют на три вида: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в данном испытании

Невозможным  называется событие, которое никогда не произойдет в данном испытании.

Случайным  называется  событие, которое может как произойти, так и не произойти в данном испытании.

Совместные (совместимые) события – это события, для которых наступление одного из них  не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. они могут появиться вместе.

Несовместные (несовместимые) события  - это события, для которых наступления одного из них  исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе.

Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок  “отлично”, “хорошо”,  “удовлетворительно” – события несовместные, а получение этих же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные.

Равновозможные события  - это события, для которых ни одно из них не является более возможным, чем другие, в данном испытании.

Единственно возможные события – это события, если при испытании обязательно наступит хотя бы одно из них.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Два события, образующие полную группу,  называются  противоположными событиями.

Событие,  противоположное событию А,  обозначают Ā.

 

2. Классическое определение  вероятности.

Вероятность события - численная  мера, характеризующая степень возможности   появления   события  А  в  данном испытании. Вероятность  события А обозначается  символом Р(А).

Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих событию А исходов испытания к общему числу n равновозможных и несовместных элементарных исходов:

Это определение вероятности  называется классическим, оно было  дано французским математиком Лапласом.

Свойства вероятности.

1) Вероятность достоверного события равна 1: Р (U)=1 , т.к. m = n .

2) Вероятность невозможного события  равна 0: Р (V ) = 0, т.к. m = 0 .

3) Вероятность случайного     события    удовлетворяет неравенству

0 < Р (А) < 1.

4) Сумма вероятностей противоположных событий =1.

Р(А) + Р(Ā) = 1  или p + q = 1

 

Задача. Монета бросается 2 раза.  Какова вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

Решение. Обозначим событие А - хотя бы один раз появится «герб».

Возможные исходы при двух бросках: Г Г, Г Р, Р Г, Р Р, значит n = 4, а  m = 3 , тогда по формуле (1):

Р(А) = 3/4.

 

3.  Основные  формулы комбинаторики и их применение.

Комбинаторика  - раздел математики, изучающий количества  комбинаций,  подчиненных  определенным  условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества. Простейшая    задача    комбинаторики   - ­подсчитать  число подмножеств данного множества.

Комбинациями называют  различные группы, составленные из каких-либо объектов, элементов.

Различают    три     вида комбинаций : перестановки, размещения и сочетания.

Перестановками из n элементов называют комбинации, содержащие все  n  элементов  и отличающиеся между собой лишь порядком  элементов.

Число перестановок  из  n  элементов  находится  по формуле:                             Рn= n! = 123 ... n

n! – читается «эн факториал».

Принято считать, что  0 ! = 1.

Размещениями из n элементов по k (kn) называют такие комбинации, в каждую из которых входит к элементов, взятых из данных n  элементов , и  которые отличаются друг  от друга либо самими элементами,  либо порядком их расположения.

Число размещений  из  n  элементов  по k находят по формуле:

Например:  

Сочетаниями из  n  элементов по k (kn) называют комбинации,  в каждую из которых входит k  элементов, взятых из  данных  n  элементов ,  и которые отличаются друг от друга по  крайней  мере  одним  элементом.

Число сочетаний  из  n  элементов по  k находят  по формуле:

Задача:  На пяти  одинаковых  карточках  написаны буквы а, ж, к, л, о. Выкладываем  эти карточки подряд. Какова вероятность, что при этом получится слово "ложка".

Решение: Всего различных  перестановок  из этих букв можно сделать  n = Р₅=5!= 12345 = 120.

Событие А - получить  слово "ложка".  Благоприятствовать событию А  из 120 исходов будет только один  исход , т.е. m = 1.

Поэтому  искомая вероятность     

 

4. Статистическое определение вероятности.

На практике часто классическое определение вероятности не применимо, так как оно предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно, а результат испытания можно представить в виде совокупности элементарных, равновозможных исходов. Поэтому используют  статистическое  определение вероятности.

Относительная частота W(A) события  А есть отношение числа   испытаний, в  которых   событие  А появилось, к  общему  числу  фактически  произведенных испытаний:,

где n-общее число произведенных испытаний, m-число появлений события А.

Задача. В партии из 1000 изделий товаровед обнаружил 15 бракованных. Чему  равна относительная частота появления брака ?

Решение: Обозначим через  А  -  событие появление брака в данной  партии. Всего произведенных изделий в партии n = 1000, а бракованных  m = 15.  Согласно определению имеем:

Сравнивая определения вероятности и относительной частоты, заметим, что в определении вероятности не требуется, чтобы испытания проводились в действительности, а в определении относительной частоты предполагается, что испытания были проведены, т.е. вероятность Р(А) вычисляют до опыта, а относительную частоту W(A) – после опыта.

Длительные наблюдения показали, что относительные частоты появления со­бытия при многократно повторяющихся опытах мало отлича­ются друг от  друга,  а  последовательность  частот  W₁  (A),W₂ (A) ,...,W_n  (A),...  имеет  предел. Этот  предел называется статистической вероятностью события.