080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Линейная_алгебра

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ»

КАЗАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Поташев А.В., Поташева Е.В.

ЛИНЕЙНАЯАЛГЕБРА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

для студентов, обучающихся по направлению подготовки 080500.62 Бизнес-информатика

Казань 2012

Поташев А.В., Поташева Е.В. Линейная алгебра. Конспект лекций. – Казань: Казанский кооперативный институт, 2012. – 49 с.

Конспект лекций по дисциплине «Линейная алгебра» (цикла общих математических и естественно-научных дисциплин федерального компонента учебного плана) для направления подготовки 080500.62 Бизнес-информатика составлен д.ф.-м.н., профессором Поташевым А.В., профессором кафедры «Ин- женерно-технические дисциплины и сервис» Казанского кооперативного института и к.т.н. Поташевой Е.В., доцентом кафедры «Инженерно-технические дисциплины и сервис» Казанского кооперативного института в соответствии с учебным планом дисциплины «Линейная алгебра», утвержденным ученым советом Российского университета кооперации 26 апреля 2012 г., протокол №4, и рабочей программой от 10 сентября 2012 г., протокол № 1.

Конспект лекций:

обсужден и рекомендован к изданию решением кафедры «Инженерно-

технические дисциплины и сервис» Методическим советом Казанского коопера-

тивного института (филиала) Российского университета кооперации от 24 сентября

2012г., протокол №2.

Заведующий кафедрой___________________________ А.М. Мухаметшин

© Казанский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации, 2012 © Поташев А.В., Поташева Е.В., 2012

2

РАЗДЕЛ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1. Линейная алгебра

1.1.Определители. Свойства определителей

1.1.1.Определители второго и третьего порядка, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.

1.1.1.1.Основные определения

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

a11	a12	… a1n
A = a21	a22	… a2n	,
	am2
am1		… amn

состоящая из m строк и n столбцов. 1

Каждый элемент aij матрицы имеет двойной номер; i – номер строки, j

– номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент. Например, элемент a34 стоит на пересечении третьей строки и четвертого столбца. Если m =n , то матрица называется квадратной матрицей n -го порядка.

Для квадратной матрицы вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.

Определителем матрицы A n -го порядка называется число

					a11	a12	… a1n
detA =		A		=	a21	a22	… a2n	,	(1)
					an1	an2	… ann
вычисляемое по определенному правилу.
Рассмотрим случаи: n =2,	n =3.

Определитель второго порядка записывается и вычисляется по следу-

1 Двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать основные определения.

3

ющему правилу

	a11 a12 = a a					+ –
=		22	− a	21	a	,
	11				12
	a21 a22

то есть равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример 1.

3 −1 = 3 4 − (−1) 5 =17 . 5 4

Определителем третьего порядка называется число, которое записывается и вычисляется в следующем виде

+ –

a11 a12 a13 = a21 a22 a23 =

a31 a32 a33

= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 .

Пример 2.

2 3 −1 4 2 1 =12 − 20 −3 − 2 −10 −36 = −59 . −1 5 3

1.1.1.2. Свойства определителей

Свойства определителей (справедливы для определителей любого порядка, но покажем для определителей третьего порядка).

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, а столбцы строками, сохраняя порядок.

a11	a12	a13		a11	a21	a31
a21	a22	a23	=	a12	a22	a32	.
a31	a32	a33		a13	a23	a33

Свойство 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Например:

4

a11	a12	a13		a21	a22	a23
a21	a22	a23	= −	a11	a12	a13	.
a31	a32	a33		a31	a32	a33

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Например:

a11 a12 a13

a11 a12 a13 =0 . a31 a32 a33

Свойство 4. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

a11	a12	= λ	a11	a12	.
λa21	λa22		a21	a22

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю

a11	a12	= 0 .
0	0

Свойство 6. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число:

a11	a12	a13		a11	a12	a13
a21	a22	a23	=	a21	a22	a23	.
a31	a32	a33		a31 + λa11 a32 + λa12 a33 + λa13

Все эти свойства можно проверить, вычисляя определители непосредственно.

1.1.1.3. Миноры и алгебраические дополнения

Минором Mij элемента aij определителя называется определитель, по-

лученный из данного определителя вычеркиванием i -ой строки и j -ого столб-

ца, на пересечении которых стоит элемент aij .

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется произведение

5

минора Mij на (−1)i+ j , то есть

Aij = (−1)i+ j Mij .

Пример 3. Найти M 23 и A23 определителя

2−1 0

11 3 . −2 3 1

Решение. Элемент a23 = 3 стоит на пересечении второй строки и третьего столбца. Вычеркнем эту строку и этот столбец, получим

M 23 =		2 −1		= 6 − 2 = 4 .
		−2 3

A23 =(−1)2+3 M23 = −4.

1.1.1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведем без доказательства еще одно свойство.

Свойство 7. Определитель равен сумме произведений элементов какойлибо строки или столбца на их алгебраические дополнения:

n			n
= ∑aik Aik , k =	1,n	, или	= ∑aik Aik , i =	1,n	.
i=1			k =1

Пример 4. Вычислить определитель

2−1 0

=1 1 3 . −2 3 1

разложением по элементам третьего столбца.

Решение.

1+3		1 1		2+3		2 −1		3+3		2 −1
= 0 (−1)		−2 3	+ 3 (−1)			−2 3	+1 (−1)			1 1	=

=0 −3(6 − 2) +1(2 +1) =−12 +3 =−9 .

Замечание. Вычисление определителя значительно упростится, если сначала преобразовать определитель, используя свойства определителя. Для этого надо обратить все элементы какой-либо строки или столбца в нули, кроме одного, используя седьмое свойство определителя, а затем разложить определитель по элементам полученной строки (столбца).

6

1.2.Матрицы. Действия над матрицами

1.2.1.Матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц

1.2.1.1.Определения

В начале лекции мы дали определение матрицы: матрица – это прямоугольная таблица чисел

a11		a12		… a1n
a		a		… a		,	(2)
A =	21		22		2n
		am2
am1				… amn

состоящая из m строк и n столбцов. Коротко матрицу записывают следующим образом

A = (aij )		.
Рассмотрим матрицы		m×n
A = (aij )	, B = (bij )		,
	m×n		m×n

имеющие одинаковые размеры.

Матрицы A и B называются равными A = B , если aij =bij при любых i =1,2,...,m, j =1,2,...,n.

Суммой матриц A и B называется матрица

A + B = (aij + bij )m×n ,

полученная сложением элементов с одинаковыми индексами. Произведением матрицы A на число λ называется матрица

λA = (λaij )m×n ,

полученная умножением каждого элемента матрицы A на число λ. Пример 5. Даны матрицы:

	1 0 2	,		4 − 2 0
A =			B =	−1 3 1	.
	3 1 −1

Найти матрицу A − 4B .

7

Решение.

1 0 2

+ (−4)

4 − 2 0

A − 4B =

=

3 1 −1

−1 3 1

1 0 2

−16 8 0 −15 8 2

=

+

=

.

3 1 −1 4 −12

− 4 7 −11 −

5

1.2.1.2. Произведение матриц

Произведением матрицы A = (aij )

m×n

на матрицу B = (bij )

называется

n×k

матрица C = (cij )

m×k

, где

cij = ai1b1 j

+ ai2b2 j

+... + ainbnj .

Замечание 1. Произведение матриц

A B можно определить только при

выполнении условия: число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B

.

Пример 6.

1 − 2

3 − 2

4

AB =

−1

1

2

=

0 −

1

1 3 + (−2) (−1) 1 (−2) + (−2) 1 1 4 + (−2) 2 5 −4 0

=

(−1) 0

(−2) + (−1)

1 0 4 +

=

.

0 3 + (−1)

(−1) 2 1 −1 −2

Замечание 2. Произведение матриц не обладает свойством перестановочности: AB ≠ BA. Более того, произведение BA может быть не определено, как в примере 3.

1.2.2.Обратная матрица

1.2.2.1.Определения

Пусть A – квадратная матрица A = (aij )n×n порядка n.

Рассмотрим несколько определений.

Матрица A называется невырожденной, если определитель матрицы не равен нулю, т.е. A ≠ 0.

Квадратная матрица вида

8

		1 0 0	0
	0 1 0		0
E =		0 0 1	0
				.
		0 0 0	1

называется единичной матрицей.

Свойство единичной матрицы. Если матрицы A и E имеют один порядок, то

AE = EA = A.

Матрица, AT , полученная из матрицы A заменой строк столбцами, назы-

вается транспонированной матрицей.

Квадратная матрица A−1 порядка n называется обратной к матрице A,

если

A A−1 = A−1 A = E.

Замечание. Каждая невырожденная квадратная матрица имеет обратную.

1.2.2.2. Способ нахождения обратной матрицы

Рассмотрим матрицу A = (aij )n×n . Обратная ей матрица может быть найдена в результате выполнения следующих этапов.

1.Найти определитель матрицы A ≠ 0 .

2.Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов aij матрицы A и

составить из них новую матрицу

	A11	A12	… A1n
	A	A	… A
A =	21	22		2n .
	An1	An2	…
				Ann

3. Записать транспонированную матрицу AT .

4. Найти обратную матрицу по формуле

A−1 =		1				AT .
			A

9

Пример 7.

Найти обратную матрицу к матрице

	1	0	2
	2	−1	3
A =				.
	0	1	2

Решение.

1. Найдем определитель матрицы

1 0 2

A= 2 −1 3 = −2 + 4 −3 = −1.

0 1 2

2.Найдем алгебраические дополнения

A = +		−1 3						= −5 ,			A	= −						2 3						= −4		, A			= +					2 −1					= 2 ,
11			1		2						12							0 2									13							0			1
A = −						0 2					A	=		1 2						= 2 , A							= −					1 0				= −1,
										= 2 ,
21						1 2					22			0 2												23						0 1
A =				0 2						= 2 ,	A	= −				1 2							=1,		A			=		1 0							= −1.
31				−1 3							32					2 3										33				2 −1

и составим матрицу

−5 −4			2
	2	2
A =			−1 .
	2	1
			−1

3. Найдем транспонированную матрицу

	−5		2	2
T		−4	2	1
A	=				.
		2	−1
				−1

4. Найдем обратную матрицу

			1			−5	2	2			5	−2 −2
A	−1
		=				−4	2	1		=	4	−2 −1	.
			−1
											−2 1 1
						2 −1 −1

Можно сделать проверку

			5	−2 −2		1	0	2			1 0 0
A	−1		4	−2 −1		2 −1 3					0 1 0		= E .
		A =								=
			−2 1 1			0	1	2			0 0 1
							10