Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
573.11 Кб
Скачать

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ»

КАЗАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

МАТЕМАТИКА, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ЛЕКЦИИ

Часть 3.

Интегральное исчисление

для студентов, обучающихся по специальности 036401.65 Таможенное дело

и направлениям подготовки

080100.62 Экономика, 080200.62 Менеджмент,

100100.62 Сервис, 100800.62 Товароведение

Казань 2012

Поташев А.В., Поташева Е.В. Математика, математический анализ, линейная алгебра. Лекции. Часть 3. Интегральное исчисление. – Казань: Казанский кооперативный институт, 2012. – 58 с.

Лекции разработаны в соответствии с учебными планами дисциплин «Математика», «Математический анализ», «Линейная алгебра», утвержденными ученым советом Российского университета кооперации от 22 марта 2011 г., протокол №4., и рабочими программами от 29.08.2011, протокол №1.

Рецензент: к.ф-м.н., доцент Николаева Н.В.

Одобрено и рекомендовано к изданию решением кафедры инженерно – технических дисциплин и сервиса от 9.09.2011, протокол № 2.

© Казанский кооперативный институт (филиал) Российского университета кооперации, 2012 © Поташев А.В., Поташева Е.В., 2012

2

РАЗДЕЛ. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема 1. Интегральное исчисление

1.1.Неопределенный интеграл

1.1.1.1.Первообразная функция

Основная задача, изученная в теме «Производная», состояла в следующем: дана функция f (x) , требуется найти ее производную f ′(x) .

Рассмотрим теперь обратную задачу: дана функция f (x) , требуется найти такую функцию F (x) , для которой заданная функция f (x) является производ-

ной, то есть F ′(x) = f (x) .

Решению этой важной задачи и посвящена изучаемая тема «Неопреде-

ленный интеграл».

 

 

 

 

 

 

 

Функция F (x) называется первообразной для функции

f (x) , если вы-

полняется равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ′(x) = f (x) .1

 

 

 

 

Например,

для функции

f (x) = cos x первообразной

является функция

F (x) = sin x , для

f (x) = x2

F (x) =

x3

, для f (x) =

1

 

F (x) = tg x , для

 

cos2 x

 

 

3

 

 

 

f (x) = ex F ( x) = ex и т.д.

Изучая производную, мы видели, что каждая дифференцируемая функция имеет одну производную. Иначе обстоит дело с первообразными. Для функции cos x первообразными являются функции sin x , sin x + 1, sin x − 10 , то есть все функции вида sin x + C , где C – постоянная.

Таким образом, если функция имеет одну первообразную, то она имеет множество первообразных. Это множество описывают следующие две теоремы.

1 Двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать основные определения.

3

Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) , то функция F (x) + C , где C – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции f (x) .2

Доказательство. По условию теоремы F ′(x) = f (x) . Тогда

(F ( x) + C )′ = F ′( x) + C ′ = F ′( x) + 0 = f ( x) . 3

Теорема 2. Если функции F1 (x) и F2 ( x) – две первообразные для функции f (x) , то их разность F1 (x) − F2 ( x) есть величина постоянная.

Доказательство. По условию имеем F1′( x) = f (x) , F2′(x) = f ( x) . Отсюда

(F1 ( x) − F2 (x))′ = F1′(x) − F2′(x) = f (x) − f ( x) = 0 .

Тогда из необходимого и достаточного условия постоянства функции следует, что F1 (x) − F2 ( x) = C , где C – постоянная.

Из доказанных теорем следует вывод: если функция F (x) – некоторая

первообразная для функции f (x) , то функция F (x) + C , где C – произвольная постоянная, описывает множество всех первообразных для функции f (x) .

Первообразные существуют не для каждой функции. Отметим лишь (без доказательства), что всякая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную.

1.1.1.2. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется не-

определенным интегралом от функции f (x) и обозначается

f (x)dx .

Смысл этого обозначения будет раскрыт в теме «Определенный инте-

грал». Здесь знак интеграла, f (x) – подынтегральная функция,

f (x)dx подынтегральное выражение, x переменная интегрирования.

Итак, по определению f (x)dx = F (x) + C , если F ′(x) = f (x) , C – произ-

вольная постоянная. Например,

2Двойными вертикальными чертами слева и справа абзаца будем отмечать формулировки теорем.

3Знак читается так: «Что и требовалось доказать».

4

cos xdx = sin x + C , x2dx = x3

+ C , ex dx = ex + C .

 

 

3

 

 

 

Нахождение неопределенного интеграла для заданной функции называет-

ся интегрированием функции.

 

 

 

Геометрический смысл неопределенного интегра-

y

 

ла – это совокупность кривых, получаемых путем сдвига

 

 

одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси Oy. 4

 

y = x2

Например, 2xdx = x2 + C – совокупность парабол

 

 

(рис. 1.1.1).

 

 

 

 

 

O

x

 

 

РИС. 1.1.1

1.1.1.3. Свойства неопределенного интеграла

 

 

Теорема 3. (f ( x)dx )= f ( x) .

 

 

 

Доказательство. Так как f (x)dx = F (x) + C , где F ′(x) =

f (x) , то

 

(f (x)dx )= (F ( x) + C )′ = F ′(x) + C ′ = f ( x) .

Теорема 4. d (f (x)dx) = f (x)dx .

Доказательство. Используя определение дифференциала и теорему 3, получим

d (f ( x)dx) = (f ( x)dx)dx = f ( x)dx .

Теорема 5. F ′(x)dx = F (x) + C или d ( F (x)) = F (x) + C .

Доказательство теоремы следует из определения неопределенного интеграла.

Теоремы 3-5 доказывают, что знаки дифференциала и интеграла уничтожают друг друга.

Теорема 6. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

4 Тонкой двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать геометрический, механический или физический смысл рассматриваемых понятий.

5

[ f1 (x) + f2 (x) - f3 (x)] dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx - f3 (x)dx .

(1)

Доказательство. Найдем производные правой и левой частей равенства

(1), используя доказанные выше свойства,

 

([ f1 ( x) + f2 (x) - f3 ( x)]dx )= f1 ( x) + f2 ( x) - f3 (x) ,

(f1 (x)dx + f2 (x)dx f3 (x)dx)=

= (f1 ( x)dx )+ (f2 ( x)dx )(f3 ( x)dx )=

= f1 (x) + f2 ( x) − f3 ( x) .

Так как производные равны, то функции в левой и правой частях равенства (1) отличаются друг от друга лишь на произвольную постоянную. Эту постоянную в равенстве (1) не пишут, так как знак неопределенного интеграла уже включает в себя произвольную постоянную. В таком смысле понимается любое равенство между неопределенными интегралами.

Теорема 7. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

af (x)dx = af (x)dx .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 6:

(af (x)dx )= af (x) ,

(af (x)dx )= a (f (x)dx)= af (x) .

1.1.1.4. Основная таблица интегралов

1.

xn dx =

 

 

 

xn+1

 

+ C, n ¹ -1 ,

 

6.

sin xdx = -cos x + C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

dx

= ln

 

x

 

+ C ,

 

7.

 

 

dx

 

 

= tg x + C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

a x dx =

a x

 

+ C ,

 

8.

 

 

 

 

dx

 

 

= -ctg x + C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

ex dx = ex + C ,

 

9.

 

 

 

dx

 

 

 

 

= arcsin x + C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - x2

 

 

 

 

 

 

 

5. cos xdx = sin x + C ,

 

10.

 

dx

 

 

= arctg x + C .

 

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все формулы вытекают из таблицы производных. Обоснования требует лишь формула 2. Докажем ее.

Так как

 

 

ln

 

x

 

=

ln x,

если x > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(−x),

если x < 0,

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

 

 

если x > 0,

(ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

=

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(−1) =

,

если x

< 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Следовательно, dxx = ln x + C при любых x, за исключением x = 0 .

1.1.1.5. Непосредственное интегрирование

Приступим теперь к изучению методов интегрирования. Первый метод –

метод непосредственного интегрирования основывается на таблице интегра-

лов, свойствах интегралов и следующей теореме.

Теорема 8. Об инвариантности формул интегрирования. Каждая фор-

мула интегрирования сохраняет свой вид, если в нее вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию этой переменной. То есть, если

f (x)dx = F (x) + C ,

то

f (u)du = F (u) + C ,

где u = u(x) – дифференцируемая функция переменной x.

Доказательство. По условию теоремы f (x)dx = F (x) + C , где F (x) –

первообразная для f (x) , то есть F ′(x) = f (x) . Следовательно dF (x) = f (x)dx .

Рассмотрим сложную функцию y = F (u) , u = u(x) . В силу инвариантно-

сти формы дифференциала имеем dF (u) = f (u)du . Значит

f (u)du = dF (u) = F (u) + C .

7

Рассмотрим применение метода непосредственного интегрирования.

Возьмем табличный интеграл xdx =

x2

+ C . В силу доказанной выше теоремы

 

 

 

 

2

 

 

 

 

можно записать

 

 

 

 

 

 

 

(3x +1)d (3x +1) =

(3x +1)2

+ C , sin xd (sin x) =

sin2 x

+ C ,

 

 

2

 

 

 

2

 

ln xd (ln x) =

ln2 x

+ C .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Таких применений табличного интеграла можно привести много. Однако

в задачах не встречаются интегралы,

записанные в виде (3x + 1)d (3x + 1) ,

sin xd (sin x) , ln xd (ln x) . Их надо сначала привести к такому виду, а затем воспользоваться табличной формулой.

Рассмотрим такие примеры.

1. Найти sin 3xdx .

Решение.

Чтобы воспользоваться табличным интегралом 6: sin xdx = − cos x , нужно под знаком дифференциала получить 3x. Так как d (3x) = 3dx , то умножим и разделим подынтегральное выражение на 3. Получим

 

sin 3xdx =

1

sin 3x × 3dx =

1

sin 3xd (3x) .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

переменную u = 3x ,

Использовав свойства интеграла и введя новую

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3xdx =

1

sin udu = -

1

cosu + C = -

1

cos3x + C .

 

 

 

 

 

3

 

 

3

3

 

2. Найти

xdx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся

 

табличной

формулой

2. Так как

d (x2 + 1) = 2xdx , то,

умножив и разделив подынтегральное выражение на 2 и введя новую перемен-

ную u = x2 + 1 , получим

8

xdx

 

=

 

1

 

 

2xdx

=

1

 

d (x2 + 1)

 

=

1

du

=

x

2

+

 

2

 

x

2

+ 1

2

 

 

 

x

2

+ 1

 

2

u

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

ln

 

u

 

+ C =

1

ln

 

x2 + 1

 

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В дальнейшем переменную u можно не писать.

 

 

3. Найти ecos x sin xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся табличной формулой 4. Так

как

d (cos x) = −sin xdx , то

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ecos x sin xdx = −ecos x d (cos x) = −ecos x

+ C .

 

 

 

 

 

4. Найти lnxx dx .

Решение.

Так как 1 dx = d (ln x) , то, используя табличную формулу 1 при n = 1, по- x

лучим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x

dx =

ln xd (ln x) =

ln2 x

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5. Найти

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 −

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся

 

табличным интегралом

 

1 при

n = −

1

и формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

d (1 − 2x) = −2dx . Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

= (1 − 2x)−1/2 dx = −

1

(1 − 2x)−1/2 (−2dx) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − 2x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(1

− 2x)−1/2 d (1 − 2x) = −

1 (1 − 2x)1/2

 

 

 

 

 

 

= −

+ C = −

1 − 2x + C .

2

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Найти tg xdx .

9

cos x

Решение.

tg xdx = sin x dx = −d (cos x) = −ln cos x + C . cos x

dx

7. Найти x2 + a2 .

Решение.

 

 

dx

 

=

1

dx

 

=

1

a

d (x / a)

=

1

arctg

x

+ C .

x

2

+ a

2

a

2

(x / a)

2

 

 

2

(x / a)

2

+ 1

 

a

 

 

 

 

 

 

 

+ 1 a

 

 

 

 

a

 

Полученную формулу

 

dx

 

=

1

arctg

x

+ C

x

2

2

a

 

 

+ a

 

 

 

a

следует запомнить, как табличный интеграл.

8. Найти

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

=

1

 

 

 

 

 

dx

 

=

1

a × d (x / a)

 

= arcsin

x

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2

1 − (x / a)2

1 − (x / a)2

 

 

a

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

a

Полученную формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

= arcsin

x

+ C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

также следует запомнить, как табличный интеграл.

1.1.2. Методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций

1.1.2.1. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые функции переменной x. Найдем дифференциал от их произведения d (uv) = udv + vdu . Проинтегрировав обе ча-

сти этого равенства, получим

d (uv) = udv + vdu uv = udv + vdu .

Формула

udv = uv vdu

называется формулой интегрирования по частям.

10