Российский химико-технологический университет имени Д.И.Менделеева
кафедра информатики и компьютерного моделирования.
Решение обратных задач при идентификации эмпирических моделей
вариант №7
выполнил : Костин А
проверил : Тамбовцев И . И .
Москва
2004
Задание 1.
Решение задачи предсказания константы скорости химической реакции
при помощи уравнения Аррениуса.
Исходные данные:
|
№ |
Т,К |
к |
|
1 |
290 |
0,004023 |
|
2 |
300 |
0,0196 |
|
3 |
320 |
0,238117 |
|
4 |
340 |
1,739667 |
Для описания приведённой экспериментальной зависимости предполагается использование модели Аррениуса :
k = k0exp(- Ea / RT)
Это уравнение можно линеаризовать при логарифмировании :
lnk = lnk0 – Ea / RT
Уравнение регресии , вида y = a + bT-1, ищем с помощью метода наименьших
квадратов.
Линеаризованные данные
|
№ |
Т-1•103 |
lnk |
|
1 |
3.448 |
-5.516 |
|
2 |
3.333 |
-3.932 |
|
3 |
3.125 |
-1.435 |
|
4 |
2.941 |
0.554 |
Коэффициенты а и b в уравнении регрессии ищем решая матричное уравнение:
Dt•D•X = Dt •Y,
где
|
|
|
|
|
X=(Dt•D)•(Dt•Y)=
|
|
Итак уравнение регресии имеет вид y = 35.716 – 1.192•104•T-1
|
№ |
yрасч |
|
1 |
-5.39 |
|
2 |
-4.019 |
|
3 |
-1.54 |
|
4 |
0.653 |
Графическое представление расчитанных и экспериментальных данных
|
|
Уравнение Аррениуса имеет вид :
k = 3.226•1015•exp( - 9.91•104 / (R•T) )
|
№ |
kрасч |
kэксп |
|
1 |
0,004097 |
0,004023 |
|
2 |
0,016 |
0,0196 |
|
3 |
0,194 |
0,238117 |
|
4 |
1,753 |
1,739667 |
|
|
Вывод: в ходе лабораторной работы с помощью метода наименьших квадратов
было найдено уравнение регресии. С помощью него найдены Еа и к0 в уравнении
Аррениуса.
Задание 2.
Решение задачи предсказания давления паров изопропилового спирта
при помощи уравнения Антуана.
Исходные данные:
|
№ |
Т,°С |
Т,К |
Р,мм.рт.ст |
|
1 |
0 |
273,15 |
8,9 |
|
2 |
10 |
283,15 |
17 |
|
3 |
20 |
293,15 |
32,4 |
|
4 |
30 |
303,15 |
59,1 |
|
5 |
40 |
313,15 |
106 |
|
6 |
50 |
323,15 |
177 |
|
7 |
60 |
333,15 |
289 |
|
8 |
70 |
343,15 |
455 |
|
9 |
80 |
353,15 |
692 |
|
10 |
90 |
363,15 |
1021 |
|
11 |
100 |
373,15 |
1461 |
|
12 |
110 |
383,15 |
2020 |
|
13 |
120 |
393,15 |
2790 |
|
14 |
130 |
403,15 |
3800 |
Для описания приведённой экспериментальной зависимости предполагается использование модели Антуана :
P = exp(A+ B/(C+T))
Это уравнение можно линеаризовать при логарифмировании :
lnP = A+B/(C+T)
и приведению к общему знаменателю:
TlnP = AC+B+AT+(-C)lnP
Далее выполним замену переменных:
а0=АС+В , а1=А , а2=(-С)
В результате чего получается линейная модель относительно приведённых коэффициентов:
TlnP=a0+a1T+a2lnP
|
№ |
lnP |
|
1 |
2.186 |
|
2 |
2.833 |
|
3 |
3.478 |
|
4 |
4.079 |
|
5 |
4.663 |
|
6 |
5.176 |
|
7 |
5.666 |
|
8 |
6.12 |
|
9 |
6.54 |
|
10 |
6.929 |
|
11 |
7.287 |
|
12 |
7.611 |
|
13 |
7.934 |
|
14 |
8.243 |
Коэффициенты а и b в уравнении регрессии ищем решая матричное уравнение:
Dt•D•X = Dt •Y,
где
|
|
|
|
В итоге:
A = 18.567 , B = -3604.732 , C = -53.679
Уравнение Антуана : P=exp(18.567-3604.732/(T-53.679))
|
№ |
Pэксп |
Ррасч |
|
1 |
8,9 |
8.509 |
|
2 |
17 |
17.408 |
|
3 |
32,4 |
33.548 |
|
4 |
59,1 |
61.339 |
|
5 |
106 |
107.055 |
|
6 |
177 |
179.278 |
|
7 |
289 |
289.348 |
|
8 |
455 |
451.804 |
|
9 |
692 |
684.786 |
|
10 |
1021 |
1010 |
|
11 |
1461 |
1455 |
|
12 |
2020 |
2049 |
|
13 |
2790 |
2829 |
|
14 |
3800 |
3833 |
|
|
Вывод: в ходе лабораторной работы с помощью метода наименьших квадратов
было найдено уравнение регресии. С помощью него найдены коэффициенты в уравнении Антуана
Задание 3 .
Полный факторный эксперимент.
Исходные данные:
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Х1 |
297 |
303 |
297 |
303 |
|
Х2 |
40 |
40 |
60 |
60 |
|
Выход ц.к. |
0,218639 |
0,297244 |
0,28368 |
0,242092 |
Проведём регрессионный анализ данных по результатам полного факторного эксперимента с построением уравнения регресси вида : у = а0 + а1х1 + а2х2.
Матрица планирования :
|
№ |
ẋ0 |
ẋ1 |
ẋ2 |
у |
|
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
0,218639 |
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
0,218639 |
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
0,218639 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
0,218639 |
|
|
Коэффициенты в уравнении регресси найдём решив матричное уравнение:
Ẋ = N-1•Dt •Y ,
где
|
вектор наблюдения
|
транспонированная кодированная матрица
|
корреляционная матрица
|
Ẋ= |
|
В итоге:
|
Ẋ= |
|
Значит уравнение регресии для кодированных переменных имеет вид:
Y = 0.260121 + 8.96125 •10-3 ẋ1 + 2.17925 •10-3 ẋ2
Результаты в центре плана(0;0):
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Yэксп |
0.308092 |
0.308644 |
0.30384 |
0.30706 |
0.3243 |
0.3248 |
Ẏ = 0.31288
Незначимость кодированных коэффициентов регрессии определяется с использованием квантиля t- распределения Стьюдента при помощи неравенства:
|
|
|
|
8,458162•10-5
|
Расчёт критерия Стьюдента :
S2θϳ=S2y/aϳϳ=8.458162•10-5/4 = 2.115•10-5
t0расч = 12295,8
t1расч =423,7
t2расч =103,0
f2 = 6 -1 = 5
β = 0.95
t табл =
Условие адекватности проверяется с использованием неравенства:
|
|
Проверим адекватность уравнения регрессии:
f1 = 6 – ( 3 +1 ) = 2
yрасч = 0.260121
|
|
8.562096•10-3 |
F расч = SR2 / Sy2 = 101.23
F табл =
Вывод : в ходе работы был проведён регрессионный анализ данных , построено уравнение регрессии , проведена проверка значимости кодированных коэффициентов с помощью критерия Стьюдента , проверена адекватность полученного уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
Задание 4.
Ортогональный центральный композиционный план .
Таблица результатов эксперимента по определению величины расхода
целевого компонента в зависимости от температуры и длительности реакции.
|
№ |
х1 - температура |
х2 - время |
уэ |
Примечания |
|
1 |
292 |
30 |
0,20835 |
экснерименты ПФЭ |
|
2 |
300 |
30 |
0,315822 |
|
|
3 |
292 |
50 |
0,3152 |
|
|
4 |
300 |
50 |
0,234756 |
|
|
5 |
х1цп |
х2цп |
0,231956 |
эксперименты в ‘’звёздных” точках |
|
6 |
х1цп - α•Δ х1 |
х2цп |
0,24111 |
|
|
7 |
х1цп + α•Δ х1 |
х2цп |
0,25389 |
|
|
8 |
х1цп |
х2цп - α•Δ х2 |
0,268125 |
|
|
9 |
х1цп |
х2цп + α•Δ х2 |
0.308092 |
эксперименты в центре плана |
|
10 |
х1цп |
х2цп |
0.308092 |
|
|
11 |
х1цп |
х2цп |
0.308092 |
|
|
12 |
х1цп |
х2цп |
0.308092 |
|
|
13 |
х1цп |
х2цп |
0.308092 |
|
|
14 |
х1цп |
х2цп |
0.308092 |
План эксперимента:
|
|
m
n |
Ẋ0 |
Ẋ1 |
Ẋ2 |
Ẋ1 Ẋ2 |
Ẋ12 - S |
Ẋ22- S |
уэ |
|
n=4 |
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
1-S |
1-S |
0.20835 |
|
2 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
1-S |
1-S |
0.315822 |
|
|
3 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
1-S |
1-S |
0.3152 |
|
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
1-S |
1-S |
0.234756 |
|
|
nα=4 |
5 |
+1 |
- α |
0 |
0 |
α2 - S |
-S |
0.231956 |
|
6 |
+1 |
+ α |
0 |
0 |
α2 - S |
-S |
0.24111 |
|
|
7 |
+1 |
0 |
- α |
0 |
-S |
α2 - S |
0.25389 |
|
|
8 |
+1 |
0 |
+ α |
0 |
-S |
α2 - S |
0.268125 |
|
|
nc=6 |
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
0.308092 |
|
10 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
0.308092 |
|
|
11 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
0.308092 |
|
|
12 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
0.308092 |
|
|
13 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
0.308092 |
|
|
14 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-S |
-S |
0.308092 |
|
|
|
||||||||
N=n + nα + nα =14
|
|
= 0.535
|
Находим “ звёздное плечо“:
|
|
= 1.320 |
Матрица планирования D представляет собой часть плана проведения эксперимента без горизонтальных и вертикальных заголовков таблицы и вектора наблюдения уэ (правого столбца).