Лекции (doc) - 2008 / 5
.doc§1. Стационарный режим политропического реактора.
1.1. Основные допущения
1.2. Микрокинетика процесса
1.3. Математическое описание процесса (прямоток)
1.4. Информационная матрица (прямоток)
1.5. Блок-схема алгоритма расчёта (прямоток)
1.6. Математическое описание процесса (противоток)
1.7. Информационная матрица (противоток)
1.8. Блок-схема алгоритма расчёта (противоток)
§2. Построение компьютерной модели трубчатого реактора в нестационарном режиме.
2.1. Основные допущения
2.2. Уравнение математического описания
§1. Стационарный режим политропического реактора.
а) Теплоноситель движется в режиме прямотока (Задача Коши или задача с начальными условиями).
б) Теплоноситель движется в режиме противотока (Краевая задача).
1.1. Основные допущения:
- микрокинетика: реакция
- движение потоков представляется гидродинамической моделью идеального вытеснения;
- тепловые эффекты стадий не зависят от температуры;
- при теплообмене между основным потоком и потоком в рубашке учитывается только теплопередача;
- коэффициент теплопередачи = const.
1.2. Микрокинетика процесса
Определить:
Выбираем 2 ключевых компонента А и В
Стехиометрическое соотношение для неключевого компонента С:
1.3. Математическое описание процесса (прямоток).
Уравнение для потока теплоносителя:
n+3 дифференциальных уравнений.
Начальные условия:
Для определения частного решения на компьютере решается задача Коши или задача с начальными условиями – см. теплообменник «вытеснение-вытеснение» (прямоток).
1.4. Информационная матрица (прямоток)
1.5. Блок-схема алгоритма расчёта (прямоток)
1.6. Математическое описание процесса (противоток).
Модель идеального вытеснения, покомпонентный баланс:
Уравнение для потока теплоносителя:
n+3 дифференциальных уравнений, в сравнении с прямотоком изменилось только уравнение (11).
Система начальных условий:
Для определения частного решения на компьютере решается краевая задача с краевыми условиями – см. теплообменник «вытеснение – вытеснение» (противоток).
Начальное приближение:
Краевое условие превратилось в уравнение, которое определяет величину , т.е. величину температуры теплоносителя на входе.
1.7. Информационная матрица (противоток)
1.8. Блок-схема алгоритма расчёта (противоток)
Решение уравнения 11’:
§2. Построение компьютерной модели трубчатого реактора в нестационарном режиме.
2.1. Основные допущения:
-
изотермический режим;
-
однопараметрическая диффузионная модель.
2.2. Уравнение математического описания:
Уравнение 1) является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа с двумя независимыми переменными t и и описывает нестационарный режим трубчатого реактора, в котором протекает единственная простейшая реакция, если принята однопараметрическая диффузионная модель для потока.
Необходимо найти:
Начальное условие:
Граничные условия:
Для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных (СДУЧП) может быть использован метод дискретизации, в соответствии с которым производные представляются в конечно-разностной форме в определённом интервале и/или [0, L] в результате чего уравнение 1) с начальным 1’) и граничными 1’’) условиями превращаются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) и/или в систему конечных уравнений (СКУ).
Для этого уравнения можно использовать три варианта дискретизации:
1) По независимой переменной :
В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с независимой переменной t .
2) По независимой переменной t :
В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с независимой переменной .
3) По независимым переменным и t :
В результате получается система конечных уравнений.
Детально рассмотрим 1-й вариант дискретизации по независимой переменной :
При 0 < < L конечно-разностное представление производных имеет вид:
- Производная «по недостатку»:
- Производная «по избытку»:
- Вторая производная:
В этом случае граничные условия 1’’) равны:
В результате из одного уравнения в частных производных вследствие дискретизации получается система (n-1) обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой переменной t и начальным условием 1’), представленным в дискретном виде:
Если для конечно-разностного представления производной использовать «производную по избытку», то система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями имеет вид:
Преобразуя уравнение и
предполагая, что его параметры являются константами (D, W и k), можно получить следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
или
где
Из изложенного следует, что система уравнений включает граничные условия и в матричном виде может быть представлена:
где - вектор с граничными условиями, а начальные условия являются дискретным представлением начального условия
Полученная система неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений может быть легко решена любым из известных методов (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта), тем более потому, что матрица её коэффициентов является трёхдиагональной.