1 семестр / Учебная программа - 2006 / mat-1

5

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Библиографический список

Учебно-тематические планы лекционных занятий

Учебно-тематические планы семинарских занятий

Примеры контрольных работ

Контрольная работа 1

Контрольная работа 2

Контрольная работа 3

Вопросы к экзамену

Библиографический список

1. Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., Напеденин Ю.Т. Математический анализ: Ч.1; Курс лекций/ РХТУ им.Д.И.Менделеева. М.: 1999. 267 с.

2. Математический анализ: Ч.1. (Практические занятия). /Под ред. Г.С.Жуковой; РХТУ им. Д.И. Менделеева. М.: 1999. 222 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. T.I. М.: Наука, 1985. 416 с.

Учебно-тематические планы лекционных занятий

№	Тема лекции	Количество аудиторных часов
1.	Функция. Способы задания функции. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые функции и их свойства.	2
2.	Свойства предела. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация.	2
3.	Производная функции: определение, геометрический смысл. Правила вычисления производной. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).	2
4.	Дифференцируемость функции: определение, теоремы о связи дифференцируемости с непрерывностью и с существованием производной. Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала.	2
5.	Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Ролля, Лагранжа). Асимптоты графика функции. Монотонность и экстремумы функций: необходимые и достаточные условия.	2
6.	Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. Схема исследования функции и построение графика.	2
7.	Первообразная. Неопределённый интеграл: определение, свойства, таблица основных интегралов. Методы интегрирования: табличный, разложения, замены переменной.	2
8.	Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной дроби. Вопросы к коллоквиуму.	2
9.	Определённый интеграл: определение, свойства, теорема о среднем, формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной и методом интегрирования по частям.	2
10.	Понятие несобственных интегралов: определения, свойства, методы вычисления. Коллоквиум. (1 час).	2
11.	Функции двух и более переменных: определение, область определения, область существования, геометрическая интерпретация, линии уровня. Предел функции в точке. Частные производные (на примере функции двух переменных).	2
12.	Дифференцируемость функции нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Полная производная. Производная сложной функции. Полный дифференциал. Инвариантность полного дифференциала. Аналитический признак полного дифференциала.	2
13.	Дифференцирование функции одной и двух переменных, заданной неявно. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (для функции двух переменных).	2
14.	Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Производная по направлению. Градиент и его свойства.	2
15.	Экстремумы функции двух переменных: необходимые и достаточные условия экстремумов. Условный экстремум (метод множителей Лагранжа).	2
16.	Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.	4
17	Обзорная лекция. Вопросы к экзамену.
	И Т О Г О:	34 часа

Учебно-тематические планы семинарских занятий

Семинар 1. Функция: область определения, четность, нечетность, точки пересечения с координатными осями, промежутки знакопостоянства, непрерывность. Предел последовательности.

Семинар 2. Вычисление предела функции в точке. Вычисление предела функции в точке с использованием замечательных пределов.

Семинар 3.Производная фугкции. Правила вычисления производной. Производная сложной функции.

Семинар 4. Производные высших порядков. Раскрытие неопределенностей. Подготовка к контрольной работе.

Семинар 5. Контрольная работа 1

Семинар 6. Точки разрыва функции. Асимптоты графика функции. Исследование функции на монотонность и экстремум.

Семинар 7. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика. Общая схема исследования функции.

Семинар 8. Методы интегрирования: табличный, разложения, подведения под знак дифференциала, замены переменной.

Семинар 9. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной дроби.

Семинар 10. Определенный интеграл. Подготовка к контрольной работе.

Семинар 11. Контрольная работа 2.

Семинар 12. Частные производные первого и второго порядков. Полный дифференциал (для функций двух переменных).

Семинар 13. Производная сложной функции. Полная производная. Производные высших порядков.

Семинар 14. Производная по направлению. Градиент и его свойства.

Семинар 15. Экстремумы функций двух переменных: необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Подготовка к контрольной работе.

Семинар 16. Контрольная работа 3.

Семинар 17. Добор баллов

Контрольная работа 1

1. Вычислить пределы:

а)

б)

в) .

2. Используя 1-й и 2-й замечательные пределы, найти пределы:

а) ,

б) .

3. Для данной функции найти точки разрыва, если они существуют. Дать их классификацию. Сделать эскиз графика функции.

4. В точке найти значение производной функции

5. Найти производные функций:

а)

б) .

Контрольная работа 2

1. Раскрыть неопределенность, используя правило Лопиталя:

а) ;

б) ;

в) .

2. Вычислить , если .

3. Найти асимптоты графика функции:

.

4. Найти точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции:

Контрольная работа 3

1. Найти дифференциал функции:

.

1. Дана функция

.

Найти:

а) асимптоты графика функции,

б) промежутки монотонности и экстремумы функции,

в) промежутки вогнутости и выпуклости,

г) точки перегиба графика функции.

3. Найти неопределенные интегралы:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

ж) .

4. Вычислить определенные интегралы:

а) ,

б) ,

в)

Вопросы к экзамену

1. Последовательность. Предел числовой последовательности.

2. Функция. Способы задания функции.

3. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности.

4. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация.

5. Производная функции: определение, геометрический смысл.

6. Правила вычисления производной.

7. Производная сложной функции.

8. Производные высших порядков.

9. Дифференцируемость функции. Теоремы о связи дифференцируемости с непрерывностью и с существованием производной.

10. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

11. Инвариантность формы первого дифференциала.

12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).

13. Исследование функции: область определения, четность (нечетность), точки пересечения с координатными осями, промежутки знакопостоянства, непрерывность, точки разрыва.

14. Асимптоты графика функции.

15. Достаточные условия монотонности функции.

16. Достаточные условия экстремумов функции.

17. Достаточные условия выпуклости, вогнутости графика функции.

18. Точки перегиба графика функции.

19. Общая схема исследования функции и построение графика.

20. Первообразная. Неопределенный интеграл: определение. Теорема об общем виде первообразных.

21. Основные свойства неопределенного интеграла.

22. Таблица основных интегралов.

23. Методы интегрирования: табличный, разложения.

24. Интегрирование подведением под знак дифференциала.

25. Интегрирование с помощью замены переменной.

26. Метод интегрирования по частям.

27. Интегрирование рациональной дроби.

28. Определенный интеграл: определение, свойства.

29. Свойства интеграла с переменным верхнем пределом.

30. Формула Ньютона- Лейбница.

31. Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной.

32. Интегрирование по частям.

33. Приложения определенного интеграла.

34. Несобственные интегралы 1-го рода: определение, свойства, методы вычисления.

35. Несобственные интегралы 2-го рода: определение, свойства, методы вычисления.