логар.уравн

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

Учебный центр «Резольвента»

Кандидат физико-математических наук, доцент

С. С. САМАРОВА

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике

© С. С. Самарова, 2010 © ООО «Резольвента», 2010

Пример 1. Решить уравнение

log2 (x +1) + log2 x =1.

Решение.

log2 (x +1) + log2 x =1 log2 x (x +1) =1 x (x +1) = 2 x2 + x − 2 = 0

x1,2 = −1 ± 1 +8 = −1 ± 3 x1 = −2, x2 =1. 2 2

Поскольку под знаком логарифма не может быть отрицательного числа, то слу-

чай x1 = −2 должен быть отброшен.

Простая проверка показывает, что значение x2 =1 удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: 1.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

Пример 2. Решить уравнение

logx−1 9 = 2

Решение.

logx−1 9 = 2 (x −1)2 = 9 (x −1)1 = −3, (x −1)2 = 3.

Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то первый случай должен быть отброшен. Далее получаем:

x −1 = 3 x = 3 .

Простая проверка показывает, что число x = 3 является корнем исходного урав-

нения.

Ответ: 3.

Пример 3. Решить уравнение

log1 (x −3)+ log3 3x +1 = 0

3

Решение.

log1 (x −3)+ log3 3x +1 = 0 −log3 (x −3) + log3 3x +1 = 0

3
log3 3x +1 = log3 (x −3) 3x +1 = x −3 3x +1 = (x −3)2
3x +1 = x2 − 6x + 9 x2 −9x +8 = 0 x =1, x = 8.
1	2

Число x1 =1 не входит в область определения уравнения, поскольку в этом слу-

чае число x −3 , стоящее под знаком логарифма, будет отрицательным.

Простая

проверка

показывает, что

число x = 8

является корнем исходного

уравнения.

Ответ: 8.

Решить уравнение

Пример 4.

logx 10 + logx4 100 = 6

Решение.

log

10 + log

4 100 = 6 log

10 +

2

log

10 = 6 log

10 +

1

log

10 = 6

x

x

x

x

x

x

4

2

3 logx 10 = 6 logx 10 = 4 x4 =10 x1 = − 410, x2 = 410. 2

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 2

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то первый случай должен быть отброшен.

Простая проверка показывает, что число x = 410 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 410.

Пример 5. Решить уравнение

log4 (x +12)× logx 2 =1

Решение.

	log4 (x +12)× logx 2 =1 log22	(x +12)×	1	=1	1	×	log2	(x +12)	=1
			log2 x		2		log2 x

log2 (x +12) = 2 logx (x +12)= 2 x2 = x +12 x2 - x -12 = 0 log2 x

(x - 4)(x + 3)= 0 x1 = -3, x2 = 4.

Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то

первый случай должен быть отброшен.

Простая проверка показывает, что число x = 4 является корнем исходного урав-

нения.

Ответ: 4.

Пример 6. Решить уравнение

	log3		+	3	= logx	1		.
		x
						3
		2

Решение.

			3		1			1			3		1			3		1
log3	x +			= logx					log3	x +		= -logx 3		log3	x +		= -
			2					2			2		2			2		log3 x
					3

log3 x +		3 = -	2		log3 x + 3 +		2					= 0				(log3 x)2 + 3log3 x + 2							= 0
			log3 x				log3 x												log3 x
(log	3	x)2 + 3log		3	x + 2 = 0, log	3	x ¹ 0 (log								3	x)			= -2, (log	3	x)	= -1
																1						2
					x = 3−2	=		1	, x = 3−1					=			1	.
					1		9			2						3

Поскольку область определения уравнения имеет вид:

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 3

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

x > 0, x ¹ 1,

то оба найденных значения в неё входят, и, следовательно, являются корнями ис-

ходного уравнения.

Ответ: 1 ; 1 .

9	3
		Решить уравнение
Пример 7.
													log6 x2 - logx						1	= 3.
																			6
Решение.
log6 x2 - logx							1		= 3 2log6 x + logx 6 = 3 2log6 x +																					1						= 3
																											log
						6																									6		x
	2log					6 x +					1		- 3	= 0		2(log6 x)2 - 3log6										x +1				= 0
										log6 x												log6 x
																										=		3 ±
2(log					x)2	- 3log						x +1 = 0, log					x ¹ 0 (log								x)										9 - 8
				6							6					6								6
																									1,2								4
(log				x)		=		3 ±1			(log				x) =	1		, (log				x)	=1 x =
			6											6							6											6, x = 6.
					1,2	4									1	2							2			1							2

Проверка показывает, что оба найденных значения являются корнями исходно-

го уравнения.

Ответ: 6; 6.

Пример 8. Решить уравнение

lg (19 + 2 ×10x )=1 - x .

Решение.

lg (19 + 2 ×10x )=1 - x Û 19 + 2 ×10x =101−x Û 19 + 2 ×10x =										10		Û
										10x
	= -19 ±								= -19 ± 21 Û
Û 2 ×(10x )2 +19 ×10x -10 = 0 Û (10x )						361 + 80
1,2					4					4
Û (10x ) = -10, (10x )		=	2		=		1	.
1	2	4			2

Уравнение

10x = -10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 4

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru ,

решений не имеет.

Решением уравнения

10x = 1

2

			1
	является число	x = lg			= -lg 2.
			2

Ответ: −lg 2.

Пример 9. Решить уравнение

log7 (9x - 25)= 3 log2 7

Решение.

[e-mail], [phone]

+ log7 (3x + 5).

log7 (9x - 25)=

3

+ log7 (3x + 5)Û log7 (9x

- 25)= 3log7 2 + log7 (3x + 5)Û

log

2

7

Û log7 (9x - 25)= log7 8 + log7 (3x + 5)

Û log7

(9x - 25)

= log7 8 ×(3x + 5) Û

=

8 ±

=

Û 9x - 25 = 8 ×(3x + 5)Û (3x )2 - 8 ×3x - 65 =

0 Û (3x )

64 + 260

2

1,2

=

8 ±18

Û

(3x )

= -5, (3x ) =13.

2

1

2

Уравнение

3x = -5

решений не имеет.

Решением уравнения

3x =13

является число x = log3 13.

Ответ: log3 13.

Пример 10. Решить уравнение

	x -1				x - 2
1 + log7			= log 1				.
	3x - 6					7
			7

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 5

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru , [e-mail],

[phone]

Решение.

x -1

x - 2

x -1

x - 2

1 + log7

= log 1

Û 1 + log7

= -log

7

Û

3x -

6

7

3(x

- 2)

7

7

x -1

= -log7 (x - 2)+ log7 7 Û log7

x -1

7 (x - 2)Û

Û 1 + log7

= -log

3(x - 2)

3(x

- 2)

x -1

1

x -1

1

x -1

3

Û log7

= log7

=

=

3(x - 2)

x -

2

2

3(x - 2)

x - 2

x - 2 x -

x - 4 = 0 x = 4. x - 2

Проверка показывает, что число x = 4 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Пример 11. Решить уравнение

																	x					1							x +1
											1 + log6								-						= log			1										.
																																	- x
																		3				6							3
																												6
Решение.
	x				1									x +1																	x								1					x +1
1 + log6			-						= log 1									Û log							6 6 + log					6						-					= -log		6						Û
		3			6									3 - x																				3					6					3		- x
											6
		x						1							3 - x										x					1								3 - x									3 - x
Û log6 6		×				-					= log				6										6 ×			-						=								2x	-1 =
								6																						6								x +1									x +		1
		3													x +1										3

(2x -1)(x +1)- (3 - x) = 0			2x2 - x + 2x -1 - 3 + x		= 0	2x2 + 2x - 4	= 0
x +1				x +1		x +1
	x2 + x - 2	= 0 (x + 2)(x -1) = 0 x = -2, x =1.
	x +1		x +1	1	2

В случае x = −2 выражения, стоящие под знаком логарифмов, становятся отри-

цательными, поэтому это значение должно быть отброшено.

Простая проверка показывает, что число x =1 является корнем исходного урав-

нения.

Ответ: 1.

Пример 12. Решить уравнение

2log4 x x3 = 5log2 x x .

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 6

ООО «Резольвента»,

www.resolventa.ru ,

[e-mail],

[phone]

Решение.

2log4 x x

3

= 5log2 x x

6log4 x x - 5log2 x x = 0

6log2 x

-

5log2 x

= 0

log2

(4x)

log2 (2x)

6

5

6

5

log2 x ×

-

= 0

log2

x = 0

-

= 0

log2 (

4x)

log2 (2x)

log2 (4x)

log2 (2x)

Решением уравнения

log2 x = 0

является число x =1.

Остаётся решить второе уравнение:

6

-

5

=

0

6

=

5

6log2 (2x)= 5log2 (4x)

log2 (4x)

log2

(2x)

log2

(4x)

log2

(2x)

6(log2 2 + log2 x)= 5(log2 4 + log2 x) 6(1 + log2 x)= 5(2 + log2 x)

6 + 6log2 x =10 + 5log2 x log2 x = 4 x =16.

Проверка показывает, что оба найденных значения являются корнями исходно-

го уравнения.

Ответ: 1;16.

Пример 13. Решить уравнение

log x (5x) × log5 x = -2

Решение.

2log5

(5x)

log

(5x)× log5 x = -2 Û 2logx (5x)× log5 x = -2 Û

× log5

x = -2 Û

x

log5 x

× log5 x = -2

Û

2log5 5 + 2log5 x

× log5 x = -2 Û

2 + 2log5 x

log5 x

log5 x

Совершим теперь в полученном уравнении замену переменного

log5 x = y

и заметим, что выполняется неравенство

y < 0 .

Врезультате уравнение

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 7

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]

2 + 2log x × = -

log5 x

5 log5 x 2

примет вид:

2 + 2 y × y = -2 2 + 2 y × y2 = 4 2 y2 + 2 y - 4 = 0 y2 + y - 2 = 0

y	y
	-1 ±			=	-1 ± 3	y = -2, y
y =		1 + 8						=1.
							2
1,2	2				2	1

Всилу того, что y < 0 , второй случай должен быть отброшен.

Впервом случае получаем:

log5 x = -2 x = 1 . 25

Проверка показывает, что найденное значение удовлетворяет исходному урав-

нению.

Ответ: 1 . 25

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решить уравнения:

	1.	log3	x + log3		2x +			1				= -1
								3
	2.	log5	x + log5			+	4				= -1
				x
							5

3.log2 x + log2 (x + 2)= 3

4.logx+1 4 = 2

5.logx−2 25 = 2

6.logx+2 16 = 2

7.2log9 (3x -1)= log3 x + 3

8.3log8 (x - 2) = log2 2x -1

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 8

ООО «Резольвента»,							www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]
				x						x
9.	log 1		1 −		+ log2	2	−							= 0
				2					4
	2
10.	logx 12 − logx3 27 = 2
11.	log2 x (1 − x)= 2 − log4 x								1
								2
									9

12.logx 7 + logx4 49 = 3

13.2logx2 (4 + x)+ logx 2 = 2

14.log 3 x 2 − logx 18 = 2

15.2logx2 (3 + x) = 2 + logx 2

16. log1			1			− logx 5	=1
				2
		x
5

	17.	4log 1					x = 4 − logx 64
					4
						1		1
	18.	2logx						+ log7				= −3
						7
								x
	19.	−logx 64 − 6log8													= 7
													x
	20.	log		x2 + 5 = log								1
			9
										x 81

21. log2 x − logx 4 = 3 2

22. log3 (11 + 4 ×3−x )=1 + x

	23.	log2	(25x -16)	=	1					+ log2 (5x + 4)
					log		7	2
	24.	log5	(14 + 24 ×5x )=1 - x
	25.	log5	(49x -1)-	1 =			1				+ log5 (7x +1)
						log			2	5

26.log7 (13 + 2 × 7−x )=1 + x

27.lg (4x - 9)- lg 5 = lg (2x + 3)+ lg 2

ООО«Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 9

	ООО «Резольвента»,													www.resolventa.ru , [e-mail], [phone]
													3					25 (2x + 4)
	28.	2log5 x - log5								x -				= 2log
													2
							x					(1 - x)-1
	29.	log 1			-				= lg
							2
		10
	30.	log3 (x +1)+ log3 (x - 3)=																1
															log5 3
	31.	1 + log				4 - x						= log5 (1 - x)
					1
									2
					5
	32.	log3 (-4 + x)= 2log3 4 + log1 (2 + x)
														3

33.log2 (x -1)+ log2 (4 - x) =1 + 3log8 (3x - 5)

34.3log3 x x = 2log9 x x2

35.1 + logx (3 - x) = log7 4 × logx 7

36.(log9 (7 - x)+1)× log3−x 3 =1

37.1 + logx (4 - x) = log5 3 × logx 5

38.(log4 (2x + 9)+1)× logx+2 2 =1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [e-mail], [phone] 10