§4 Повторение испытаний
4.1.Формула Бернулли.
4.2.Приближенные формулы в схеме Бернулли.
4.2.1.Локальная теорема Лапласа.
4.2.2.Интегральная теорема Лапласа.
4.3. Формула Пуассона.
Повторение испытаний
Пусть, в одних и тех же условиях проводятся n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться.
Вероятность наступления события в каждом испытании одна и та же и равна р (появление события принято считать успехом)
Вероятность не наступления, вероятность неудачи, Р(А) = 1-р = q
Иоганн Бернулли 1667-1748
4.1. Формула Бернулли
Вероятность того, что в результате n-независимых испытаний событие А наступает ровно m раз, если в каждом из этих испытаний
данное событие наступает с постоянной вероятностью P, равна:
Pn (m) Cmn pm qn m
или
Pn (m) m!(nn! m)! pm qn m
• Задача 1
Найти вероятность того, что при 10- кратном бросании монеты герб выпадет ровно 5 раз.
• Задача 2
Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, не больше трех девочек
• Задача 3
Найти наивероятнейшее число годных деталей среди 19 проверяемых, если вероятность детали быть годной равна 0,9.
Наивероятнейшее число m0
наступления события А (наиболее вероятнейшее число появления успехов) в
схеме Бернулли:
np q m0 np q
• если (np q)не целое, то m0 равно целой части числа (np q)
4.2 Приближенные формулы в схеме Бернулли
•Задача. Вероятность вступления в законную силу вердикта народного суда по гражданскому делу равна 0,9. В течении месяца судья принял решение по 50 гражданским делам. Какова вероятность того, то 30 из них вступят в законную силу без кассационного рассмотрения?
Решение. По формуле Бернулли получим:
P50 (30) |
50! |
|
(0,9)30 (0,1)20 |
|
30! 20! |
||||
|
|
|||
Получит по указанной формуле более или менее точный результат практически невозможно.
Упростить вычисления позволяет…
4.2.1. Локальная теорема Лапласа
Если вероятность появления события А в единичном испытании постоянна и равна p(0<p<1), то вероятность Pn (m) того, что событие А в серии из n независимых испытаний появится ровно m раз, приближенно равна значению функции :
Pn (m) |
|
1 |
|
|
1 |
e |
|
|
|
|
|
||||
npq |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
x2 2
x m np npq
В другой форме:
|
P |
|
|
|
1 |
|
|
|
(x) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m,n |
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
x m |
np |
|
q 1 p, |
(x) |
|
|
e |
2 ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
npq |
||||
(x) - четная, ее значения
затабулированы.