Презентации МАТАН / Слайды (модуль 4) / Дифференциальные уравнения и системы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Вид уравнения

Метод решения

Уравнение с разделяющимися переменными

M1(x) N1( y)dx M2 (x) N2 (y)dy 0

Однородные уравнения Р(х, у)dх+Q(х, у)dу = 0.

Р(х,у) и Q(х,у) – однородные функции одинакового измерения

Линейные уравнения

у'+Р(х)у = Q(х)

Уравнение Бернулли

у'+Р(х)у = Q(х)уn

Уравнение в полных дифференциалах Р(х,у) dх+Q(х, у)dу = 0 и выполняется

P(x, y)		Q(x, y)	;	dU 0.
y		x

Делим обе части на

			N1( y) M2 (x)
Замена:		y	t(x),
отсюда		x
	у=tх, у'=t'х+t.

1.Замена: у=U(х)∙V(х), у'=U'V+UV'.

2.Метод вариации произвольной постоянной.

1.Замена: у=U(х)∙V(х), у'=U'V+UV'.

2.Метод вариации произвольной постоянной.

1. С помощью криволинейного интеграла.

2. Из системы	U (x, y)		P(x, y)
		x
	U (x, y)		Q(x, y)
		y

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

	Название		Общий вид
	Дифференциально	1.	у (n) = f(х);
	е уравнение	2.	F(х, у' ,у") = 0;
	допускающее	3. F(у, у' ,у") = 0.
	понижение

порядка

Метод и вид решения

Последовательное интегрирование правой части:

у = ∫∫∫…∫f(х)dхdхdх…dх+С1 х n-1 + С2хn-2 + +…+ Сn

Замена у' = р(х), у" = р'(х); Замена у' = р(у), у" = рр'.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

	Название	Общий вид	Метод и вид решения
	Линейные	у" + а1у' +а2у = 0 Составление характеристического
	однородные	уравнения:
	дифференциальные	k2 + а1 k +а2 = 0. При этом:
	уравнения с	1. Если корни характеристического
	постоянными
		уравнения различные и вещественные
	коэффициентами
		(k1 ≠ k2), тогда
		y C ek1x C ek2x
		1	1
		2. Если корни характеристического
		уравнения кратные и вещественные
		(k1 ≠ k2=k), тогда
		y C ek1x	C ek2x	ekx (C C x)
		1	1	1	2
		3. Если корни характеристического

уравнения комплексно сопряженные (k1,2 = α ± iβ), тогда

у = еαх(С1 соsβх + С2sinβх).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Название	Общий вид	Метод и вид решения
Линейные	у" + а1у' +а2у = f(х)	Решение имеет вид у = y + у*, где
неоднородные		y - общее решение
дифференциальны		соответствующего однородного
е уравнения с		дифференциального уравнения;
постоянными		у* - частное решение этого
коэффициентами		уравнения.
		Если f(х) специального вида чаще
		всего используется метод
		неопределенных коэффициентов. В
		общем случае применяется метод
		вариации произвольных
		постоянных.

Выбор частного решения уравнения у"+а1у'+а2 у = f(х)

Правая часть f(x)

Pn(x) e αx

е αx ( Pn(x) cos x + +Qm(x) sin x)

Корни Вид частного решения характеристичес-

кого уравнения

1. у* = Рn(х)еах

2. у* = Рn(х)еаххs

1. у* = еах(Р(х)соs x + (х)sin x ), где k = max ( n, m )

2. y* e	ax	%		%
		(Pk	(x)cos x Qk (x)sin
где k = max ( n, m )

α не является корнем

α является корнем кратности s

= α ± i не является корнем

x), = α ± i является корнем кратности s

	Pn	и Qm многочлены степени n и m
	соответственно;
	P	(x) - многочлен степени n общего вида с неопределенными
	~
	nкоэффициентами, т.е.
		~			+…+ A	x + A ,
		P=(x)A xn + A xn 1
%	%	n	1	2	n 1	n
		многочлены степени k общего вида, причем k выбирается из
Pk и Qk условия: k = max ( n, m ).