- •РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА, МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ, МЕТОДОМ ГАУССА
- •Основные обозначения:
- •расширенная
- •Методы решения СЛАУ:
- •Правило Крамера
- •Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы называется главным определителем системы, обозначается
- •Теорема (правило Крамера)
- •Метод Гаусса решения СЛАУ
- •Суть метода Гаусса
- •Элементарные преобразования расширенной матрицы системы :
- •В результате этих преобразований матрица примет один их трех видов:
- •Теорема Кронекера-Капелли
- •Общая схема исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА, МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ, МЕТОДОМ ГАУССА
ПОЛНАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Основные обозначения:
система линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ): |
|
а11х1 а12х2 |
... а1n хn |
b1, |
||||||
|
|
а |
х |
а |
х |
... а |
2n |
х |
b , |
|
|
|
|
21 1 |
22 |
2 |
|
n |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.............................................. |
|||||||||
|
а |
х |
а |
х |
... а |
|
х |
b |
||
|
m1 1 |
m2 2 |
|
|
mn n |
m. |
матричная запись СЛАУ: |
А Х=В , |
|||||||
|
где |
а |
|
а ... |
а |
|
|
|
|
11 |
|
12 |
1n |
|
|
|
|
|
|
а21 |
|
а22 ... |
а2n |
|
|
, |
|
|
Aосновная |
матрица системы |
|||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
|
|||
х1 |
|
аm1 |
аm2 ... |
аmn |
b1 |
|
||
х |
|
|
|
|
|
|
b |
|
2 |
|
|
|
|
|
, |
2 |
|
Xстолбец неизвестных системы |
|
Bстолбец свободных членов |
||||||
M |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
b |
|
n |
|
|
|
|
|
|
m |
|
расширенная |
|
|
а |
а |
... |
а |
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
11 |
12 |
... |
1n |
|
1 |
|
||
матрица системы: |
|
|
а21 |
а22 |
а2n |
|
b2 |
|
||
A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
||
|
|
|
... ... ... ... |
|
|
|||||
|
|
|
аm1 |
аm2 |
... |
аmn |
|
bm |
|
однородная |
а11х1 |
а12х2 |
... |
а1nхn 0, |
||
СЛАУ: |
|
а22 |
х2 |
|
а2n хn 0, |
|
а21х1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.............................................. |
|||||
|
а х а |
х ... |
а |
х 0 ; |
||
|
m1 1 |
m2 |
2 |
|
mn |
n |
Методы решения СЛАУ:
правило Крамера;
матричный метод;
метод Гаусса
Правило Крамера
Решает системы n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными общего вида
а11х1 а12х2 ... |
а1n хn b1, |
||
|
а22х2 |
|
а2n хn b2, |
а21х1 |
|||
|
|
|
, |
.............................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
аn2х2 |
|
аnn хn bn, |
аn1х1 |
причем определитель основной матрицы системы отличен от нуля.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы называется главным определителем системы, обозначается ∆:
|
а11 |
а12 |
... |
а1i |
... |
а1n |
|
|
|
|
|||||||
|
а21 |
а22 |
... |
а2i |
... а2n |
|
. |
|
|
.... .... .... .... .... .... |
|
|
|||||
|
аn1 |
аn2 |
... |
аni |
... |
аnn |
|
|
Теорема (правило Крамера)
Если главный определитель ∆ системы размерности n n отличен от нуля, то система имеет решение, и притом, единственное. Это решение можно найти по формулам:
x 1 |
, |
x2 |
2 |
, |
... xi i , |
... , x |
n |
, |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
где каждый определитель ∆i получается из определителя ∆ путем замены соответствующего i- го столбца столбцом свободных членов:
|
а11 |
а12 |
... |
b1 |
... |
а1n |
|
||||||
i |
а21 |
а22 |
... |
b2 |
... |
а2n |
|
.... .... .... .... .... .... |
|||||
|
аn1 |
аn2 |
... |
bn |
... |
аnn |
Метод Гаусса решения СЛАУ
Суть метода Гаусса
Чтобы решить систему m – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными методом Гаусса, необходимо записать расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования расширенной матрицы системы, привести ее к трапециевидной форме.
Элементарные преобразования расширенной матрицы системы :
1.перестановка строк (столбцов) матрицы;
2.умножение строки матрицы на действительное число отличное от нуля и сложение с другой строкой;
3.вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю;
4.вычеркивание одной из пропорциональных строк матрицы;
5.умножение строки матрицы на число отличное от нуля.