РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА, МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ, МЕТОДОМ ГАУССА

ПОЛНАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Основные обозначения:

система линейных алгебраических уравнений

(СЛАУ):		а11х1 а12х2				... а1n хn				b1,
		а	х	а	х	... а	2n		х	b ,
			21 1	22	2				n	2
	..............................................
	а		х	а	х	... а			х	b
	m1 1			m2 2				mn n		m.

матричная запись СЛАУ:							А Х=В ,
	где	а		а ...	а
		11		12	1n
		а21		а22 ...	а2n			,
		Aосновная		матрица системы
					...
		... ... ...
х1		аm1	аm2 ...		аmn		b1
х							b
2						,	2
Xстолбец неизвестных системы							Bстолбец свободных членов
M							M
х							b
n							m

	расширенная			а	а	...	а		b
				11	12	...	1n		1
	матрица системы:			а21	а22		а2n		b2
		A
										;
									...
				... ... ... ...
				аm1	аm2	...	аmn		bm

однородная	а11х1	а12х2		...	а1nхn 0,
СЛАУ:		а22	х2		а2n хn 0,
	а21х1
	..............................................
	а х а		х ...		а	х 0 ;
	m1 1	m2	2		mn	n

Методы решения СЛАУ:

правило Крамера;

матричный метод;

метод Гаусса

Правило Крамера

Решает системы n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными общего вида

а11х1 а12х2 ...			а1n хn b1,
	а22х2		а2n хn b2,
а21х1
			,
..............................................
	аn2х2		аnn хn bn,
аn1х1

причем определитель основной матрицы системы отличен от нуля.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы называется главным определителем системы, обозначается ∆:

	а11	а12	...	а1i	...	а1n
	а21	а22	...	а2i	... а2n			.
	.... .... .... .... .... ....
	аn1	аn2	...	аni	...	аnn

Теорема (правило Крамера)

Если главный определитель ∆ системы размерности n n отличен от нуля, то система имеет решение, и притом, единственное. Это решение можно найти по формулам:

x 1		,	x2	2	,	... xi i ,	... , x	n	,
1							n

где каждый определитель ∆i получается из определителя ∆ путем замены соответствующего i- го столбца столбцом свободных членов:

	а11	а12	...	b1	...	а1n
i	а21	а22	...	b2	...	а2n
	.... .... .... .... .... ....
	аn1	аn2	...	bn	...	аnn

Метод Гаусса решения СЛАУ

Суть метода Гаусса

Чтобы решить систему m – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными методом Гаусса, необходимо записать расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования расширенной матрицы системы, привести ее к трапециевидной форме.

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы :

1.перестановка строк (столбцов) матрицы;

2.умножение строки матрицы на действительное число отличное от нуля и сложение с другой строкой;

3.вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю;

4.вычеркивание одной из пропорциональных строк матрицы;

5.умножение строки матрицы на число отличное от нуля.