Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Презентации МАТАН / Слайды (модуль 1) / Раздел 1 - Линейная алгебра / Определители, свойства и методы вычисления.ppt
Скачиваний:
176
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
684.03 Кб
Скачать

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ И

МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:

определитель го порядка:

А = det A = |A|=

 

a11

a12

...

a1n

 

 

a21

a22

...

a2n

 

 

... ... ... ...

 

 

an1

an2

...

ann

(числовая характеристика квадратной матрицы);

минор элемента аij

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

:

 

 

М

 

 

ij

алгебраическое дополнение элемента аij: Аij ( 1)i j Mij

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:

определители 1-го порядка: ∆1 =│a11│= a11 ;

определители 2-го порядка:

 

 

 

 

2 = det A =

 

а11

а12

 

= a11 a22 a21 a12

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

22

 

 

 

определители 3-го порядка:

 

 

 

 

3=

det A

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a23

a11a22a33 a21a32a13

a12a23a31 a13a22a31 a32a23a11

a21a12a33

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

 

 

 

 

 

 

СХЕМЫ ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 3-ГО ПОРЯДКА:

1.

2.

со знаком «+»

со знаком «­»

(правило треугольника)

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ

Теорема Лапласа. Определитель n-го порядка равен сумме произведений

элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих

n

элементов: det A aij Aij , где i = 1,2,…,n.

j 1

Например:

 

a11

a12

...

a1n

 

 

 

 

 

 

a21

a22

...

a2n

 

 

А=

=

ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain

 

 

...

...

...

...

 

 

 

 

an1

an2

...

ann

 

 

(вычисление определителя с помощью разложения по i-ой строке).

Замечание.

1.Данная теорема справедлива для определителей, начиная со 2-го порядка и выше, но целесообразнее ее применять для определителей 4-го порядка и выше.

2.Методы вычисления определителей n-го порядка: эффективного понижения порядка и сведения к треугольному виду.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ:

1.Величина определителя не изменяется при транспонировании соответствующей матрицы.

2.При перемене местами двух строк (столбцов) определителя он меняет знак.

3.Если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

4.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на число и сложить с соответствующими элементами другой строки (столбца), то величина определителя не изменится.

5.Если в определителе две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

6.Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

7.Если определитель содержит строки (столбцы), соответствующие элементы которых пропорциональны, то определитель равен нулю.

8.Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме одной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые.

9.Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей.

10.Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

АЛГОРИТМ МЕТОДА ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

Выбираем строку (столбец), содержащую элемент равный единице и элементы равные нулю (если таких элементов нет, то выбираем любую строку (столбец)).

Используя свойство определителя, «обнуляем» все элементы строки (столбца), кроме одного, то есть добиваемся того, чтобы все элементы выбранной строки (столбца), кроме одного, стали бы равняться нулю. При обнулении элементов строки (столбца) работаем с элементами столбца (строки).

Используя теорему Лапласа, разлагаем определитель по элементам выбранной строки (столбца). Получаем определитель (n ­1) ­ го порядка.

Алгоритм выполняем до тех пор, пока в разложении не появится определитель третьего или второго порядка.

АЛГОРИТМ МЕТОДА СВЕДЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

КТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ:

Используя свойство определителя, последовательно «обнуляем» элементы в каждом из столбцов определителя, расположенные ниже элементов главной диагонали, то есть, сводим определитель к треугольному виду.

Используя свойство определителя: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали, вычисляем его.