ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ДСК

ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

				m	m	n	i	i	i		j
	f (x, y)dхdy		f (x, y)ds							y
				lim			f (x	, y ) x
D		D		n	i 1	j 1
				max xi 0
				max y j 0

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕНГРАЛА В ДСК

Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к двум последовательным линейным определенным интегралам (повторным интегралам). Вычисления начинают с внутреннего интеграла далее переходя к внешнему. Порядок интегрирования завит от вида области D (известны три основных случая).

1. Если область D – стандартна относительно оси OX, то:

	y	y2 (x)
						b	y	(x)
		D			f (x, y)dxdy dx			2 f (x, y)dy
		y1(x)			D	a	y1(x)
				x
0 a			b

2. Если область D – стандартна относительно

yоси OY, то:

d
				d	x ( y)
x ( y)	D	x (y)	f (x, y)dxdy dy		2 f (x, y)dx
1		2	D	c	x1( y)

c	x

0

3. Если область D не является стандартной относительно OX и OY, то разбиваем ее на несколько стандартных областей, по каждой из которых вычисляем двойной интеграл (смотри п.1 и п.2) и суммируем данные интегралы.

ОСНОВНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА (В ДСК)

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ – вычисление площади области интегрирования D:

SD ds dxdy

D D

ФИЗИЧЕСКОЕ – вычисление массы плоской пластины D плотности ρ (x, y):

mD (x, y)ds

D

(x, y)dxdy

D

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ

ПОДХОДЫ

К ВЫЧИСЛЕНИЮ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕНЫ

	Вычисление	Вычисление	Вычисление
	двойного интеграла	тройного интеграла
			тройного интеграла
	в полярной	в цилиндрической
			в сферической
	системе координат	системе координат
			системе координат
	(ПСК)	(ЦСК)

Замена переменных в кратных интегралах необходима, чтобы:

упростить подынтегральную функцию;

упростить уравнение линий или поверхностей, задающих область интегрирования, и построить их.

Причины целесообразности использования замены переменных для вычисления кратных интегралов

ПСК вводят для вычисления двойного интеграла, если

область интегрирования:

–круг,

–часть круга,

–круговой сектор,

–кольцо,

–часть кольца,

–ограничена полярной кривой (кривыми)

ЦСК вводят для вычисления тройного интеграла, если

область интегрирования ограничена:

–цилиндром,

–конусом,

–параболоидом,

или ее проекция на одну из координатных плоскостей представляет собой круг, кольцо, их части