Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Презентации МАТАН / Слайды (модуль3) / Раздел 2 - Определенный интеграл / Криволинейный интеграл первого рода.ppt
Скачиваний:
115
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
361.47 Кб
Скачать

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА И МЕТОД ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1-ГО РОДА

 

 

f (x, y)dl

 

 

f (x, y)dl lim

n

f (x , y ) l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

i i

i

L

 

 

 

 

 

 

AB

 

li 0

i 1

 

 

 

 

y

 

li

 

 

 

Данный интеграл называется

 

 

 

 

A

 

B

 

криволинейным интегралом 1-го рода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или интегралом от функции по длине

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дуги

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ: Для того, чтобы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

предел данной интегральной суммы

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

существовал, необходимо, чтобы под

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегральная функция была непрерывна в каждой точке кривой L

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1-го РОДА:

1. Если кривая L задана в ДСК

непрерывной и дифференцируемой

функцией y=y (x), где x a,b :

y

 

y=y(x)

 

 

L

0

a

b x

b

 

 

 

f (x, y)dl f (x, y(x))

 

2

dx

1 ( y (x))

 

L

a

2. Если кривая L задана в ПСК полярным уравнением ρ = ρ(φ),

где 1, 2 :

 

2

 

 

 

 

 

 

f (x, y)dl

f ( cos , sin )

( ( ))

2

2

d

 

( ( ))

 

L

1

 

 

 

 

 

 

3. Если кривая L задана параметрически, непрерывными и дифференцируемыми

на [ta,tb] функциями x = x(t), y = y(t):

tb

 

 

 

 

 

f (x, y)dl

2

2

dt

f (x(t), y(t)) (x (t))

 

(y (t))

 

L

tа

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1-ГО РОДА

– ЭТО ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ L, ЗАДАННОЙ:

 

l dl

b

1 (y (x))

 

dx

 

 

в ДСК :

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в ПСК :

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l dl

 

(

( ))

2

 

2

d

 

 

 

(

( ))

 

L1

в параметрическом

виде:

 

tb

 

 

 

 

 

 

l dl

 

2

 

2

dt

 

(x (t))

 

(y (t))

 

 

L

ta

 

 

 

 

 

Типовые задания

1. Вычислить криволинейный интеграл (x5 8xy),dl

L

где L – дуга кривой 4y=x4, заключённая между точками с абсциссами x=0 и x=1.

2. Вычислить криволинейный интеграл

 

где L – это лепесток лемнискаты Бернулли

L

 

расположенный в первом координатном угле.

(x

y)dl,

sin 2

3.

Вычислить криволинейный интеграл

 

2 ydl

 

,

где L – это первая арка циклоиды: – L

x=t sin t, y=1 cos t

(0 t 2 ).