ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1-ГО РОДА
|
|
f (x, y)dl |
|
|
f (x, y)dl lim |
n |
f (x , y ) l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i i |
i |
L |
|
|
|
|
|
|
AB |
|
li 0 |
i 1 |
|
|
|
|
y |
|
li |
|
|
|
Данный интеграл называется |
|
|
|
|
A |
|
B |
|
криволинейным интегралом 1-го рода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или интегралом от функции по длине |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дуги |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ: Для того, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
предел данной интегральной суммы |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существовал, необходимо, чтобы под |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегральная функция была непрерывна в каждой точке кривой L
2. Если кривая L задана в ПСК полярным уравнением ρ = ρ(φ),
где 1, 2 :
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f (x, y)dl |
f ( cos , sin ) |
( ( )) |
2 |
2 |
d |
|
( ( )) |
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
3. Если кривая L задана параметрически, непрерывными и дифференцируемыми
на [ta,tb] функциями x = x(t), y = y(t):
tb |
|
|
|
|
|
f (x, y)dl |
2 |
2 |
dt |
f (x(t), y(t)) (x (t)) |
|
(y (t)) |
|
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1-ГО РОДА
– ЭТО ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ L, ЗАДАННОЙ:
|
l dl |
b |
1 (y (x)) |
|
dx |
|
|
в ДСК : |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в ПСК : |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l dl |
|
( |
( )) |
2 |
|
2 |
d |
|
|
|
( |
( )) |
|
L1
в параметрическом
виде: |
|
tb |
|
|
|
|
|
|
l dl |
|
2 |
|
2 |
dt |
|
(x (t)) |
|
(y (t)) |
|
|
L |
ta |
|
|
|
|
|
Типовые задания
1. Вычислить криволинейный интеграл (x5 8xy),dl
L
где L – дуга кривой 4y=x4, заключённая между точками с абсциссами x=0 и x=1.
2. Вычислить криволинейный интеграл |
|
где L – это лепесток лемнискаты Бернулли |
L |
|
расположенный в первом координатном угле.
3. |
Вычислить криволинейный интеграл |
|
2 ydl |
|
, |
где L – это первая арка циклоиды: – L –
x=t sin t, y=1 cos t