Неопределенный интеграл и основные методы его нахождения

Метод

непосредственного

интегрирования

Метод	Основные
подведения под	методы
знак	интегрирования
дифференциала

Метод

подстановки

Метод

интегрирования по частям

Определение:

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на числовом промежутке Х, если в любой его точке х она дифференцируема и имеет производную F'(x), равную f(x), т.е.

F '(x) = f(x).

Отыскание первообразных интегрированием, а выражение, первообразных от данной функции от f(x) и обозначают:

называют неопределенным охватывающее множество всех f(x) – неопределенным интегралом

f (x)dx

Свойство:

1. Производная от неопределенного интеграла равна

подынтегральной	функции
f (x)dx F (x) C
			F (x) f (x)

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. В самом деле:

df (x)dx d F(x) C F (x) C dx f (x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс постоянная.

d f (x) f (x)dx f (x) C

Свойство:

4. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

(u ... )dx udx dx K dx,

где u, υ,…,ω – функции независимой переменной х.

5. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла, т.е.:

С f (x)dx C f (x)dx,

где С – константа.

Теорема:

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

f (x)dx F(x) C, то и

f (t)dt F(t) C,

где t = φ(x) – любая дифференцируемая функция от х.

Непосредственное

интегрирование

Суть непосредственного интегрирования состоит в том, что не определенный интеграл вычисляют с применением:

1)таблицы основных интегралов;

2)свойств интегралов;

3)тождественных элементарных преобразований подынтегрального выражения.

Пример

2x9dx

2x9dx = 2 x9dx 2 x10 c

10

Метод непосредственного интегрирования

Суть метода:

Существует класс интегралов, в котором исходный интеграл можно при помощи свойств и правил интегрирования, алгебраических преобразований, свести к одному или сумме табличных интегралов. Используются:

1)таблицы основных интегралов;

2)свойств интегралов;

3)тождественных элементарных преобразований подынтегрального выражения.

Пример

В начало

	2x		3			1				ex			5x 6				3	1	1	x	dx 5 xdx 6 dx
																dx 2 x		dx dx		e
						x				4								x	4
2		x4			ln				x				1	ex	5x2		6x C
		4											4		2

Назад

В начало

Метод подведения под знак дифференциала

Суть метода:

Метод применяется, если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения сложной функции и производной его промежуточного аргумента.

Формула:

f u x u x dx f u x d u x

Пример

В начало