u_course

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ”СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Ю.Я. Белов

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ

ПРОИЗВОДНЫМИ

Учебное пособие

Красноярск

СФУ

2008

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
1.	Классификация уравнений в частных производных . . . . . . .	4
2.	Постановки краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8

3.Единственность классического решения краевых задач для уравнения колебания струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.Метод разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.Принцип максимума для уравнений параболического и эллиптического типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8. Обобщенные производные (по Л.С. Соболеву ) и их свойства . 54

9.Пространства Соболева Hl(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.След функций из H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11.Формула интегрирования по частям для функций класса H1(Ω) 67

12.Первая краевая задача для эллиптического уравнения. Теоре-

ма существования и единственности . . . . . . . . . . . . . . 70

13.Метод Галеркина для эллиптического уравнения . . . . . . . . 72

14.Проблема минимума квадратичного функционала и краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

15.Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

16. Параболическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

17.Краевые задачи для гиперболического уравнения . . . . . . . 96

18.Некоторые обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2

Введение

Учебное пособие предназначено для студентов математических специальностей и написано на основание курсов лекций по уравнениям математической физике и уравнениям в частных производных, читавшихся автором на математическом факультете, факультете математики и информатики Красноярского государственного университета.

Пособие состоит из двух больших частей. Первая часть посвящена вопросам, связанным с классическими решениями начально-краевых задач и рассчитана на один семестр курса. Вторая часть посвящена обобщенным решениям начально-краевых задач. Здесь изучаются краевые задачи для многомерных уравнений математической физики – эллиптических, параболических, гиперболических. Основным методом доказательства разрешимости краевых задач является метод Галеркина, метод основанный на теореме Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. Обобщенные решения ищутся в пространствах С.Л. Соболева.

В дополнении сформулированы результаты о существовании, единственности, гладкости решений для более общих краевых задач.

Автор надеется, что данное пособие поможет студентам в первоначальном изучении курсов математической физики, уравнений в частных производных. При написании курса в основном использовались известные учебники и монографии ([5], [7], [11], [14], [17], [19])

3

1. Классификация уравнений в частных производных

Пусть En - n-мерное евклидово пространство, D, G, Ω обозначим области из пространства En. Через x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) обозначим точки пространства En. Пусть v(x) = v(x1, . . . , xn), u(x) = u(x1, . . . , xn) En - функции, определённые на некоторых областях пространства En

Определение. Уравнением в частных производных называется уравнение, в которое входят независимые переменные x = (x1, . . . , xn), неизвестная функция u(x) и ее частные производные. Порядок наибольшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. (Предполагается, что эта производная нетривиальным образом входит в уравнение).

Примеры.

ux1 + ux2 + ux1x2 = 0,		(1.1)
u2	+ f(u, ux ) = 0,	(1.2)
x1x2x3	1

где (1.1) - уравнение второго порядка, (1.2) - уравнение третьего порядка. Под уравнениями математической физики понимают дифференциальные уравнения, описывающие те или иные физические процессы. В данном

курсе мы изучаем уравнения в частных производных второго порядка.

Определение.Уравнение называется сильно нелинейным, если старшие производные уравнения входят в него нелинейно (коэффициенты перед ними зависят от старших производных уравнения).

Уравнение (1.1) не является сильно нелинейным, уравнение (1.2) явялется сильно нелинейным также как и уравнение

sin(ux1x2x3 ) + f(ru) = 0.

Определение. Нелинейное уравнение, не являющееся сильно нелинейным, называется квазилинейным уравнением.

Определение. Нелинейное уравнение, в котором нелинейным образом входит только неизвестная функция, называется полулинейным.

Например, уравнение

ux1 + ux2 = f(u) + ϕ(x),

4

где f(u) - нелинейная функция.

Определение. Уравнение в частных производных, в котором неизвестная функция и все ее частные производные входят линейным образом, называется линейным уравнением.

Линейное уравнение второго порядка имеет вид

n

∂2u(x)

n

∂u

aij(x)

+

bi(x)

+ c(x)u(x) = f(x).

(1.3)

X

∂xi∂xj

Xi

∂xi

i,j=1

=1

Здесь aij(x), bi(x), c(x), f(x) заданные в Ω функции.

Линейное уравнение второго порядка

n

∂xj aij(x)

n

+ c(x)u(x) = f(x).

(1.30)

i,j=1

∂xi + i=1 bi(x)∂xi

X

∂

∂u(x)

X

∂u

называют уравнением, записанным в дивергентном виде.

Рассмотрим матрицу старших коэффициентов

A(x) =

a11. .(.x)

.. .. .. a1.n.(.x)

an1(x) . . . ann(x)

уравнения (1.3) ((1.3’)). Считаем, что матрица A(x) симметрична в каждой

точке x Ω.

Зафиксируем x Ω. Рассмотрим уравнение

a21(x)

a22

(x) λ

. . .

a2n(x)

a11(x) − λ

a12(x)

. . .

a1n(x)

|

A(x)

−

λE

|

=

. . .

. . .

−

. . .

. . .

= 0,

(1.4)

an1(x)

. . .

ann

1(x) ann(x)

λ

−

−

определяющее собственные значения матрицы A(x). Из алгебры известно,

что все собственные числа симметричной матрицы действительные. Мы имеем n действительных решений (учитывая кратность) λ1, λ2, . . . , λn

уравнения (1.4). Пусть α - число положительных, β - число отрицательных,

γ - число нулевых собственных чисел матрицы A(x).

Определение. Тройка чисел (α, β, γ) называется типом уравнения (1.3) (уравнения (1.3’)) в точке x.

5

Умножим уравнение (1.3) (уравнение (1.3’)) на -1. Получим уравнение типа (β, α, γ). Так как все решения полученного уравнения те же, что и у

исходного, мы считаем, что (α, β, γ) и (β, α, γ) - один и тот же тип. Пусть α + β + γ = n. Выделяются следующие типы уравнений:

(n, 0, 0) или (0, n, 0) - эллиптический,

(n − 1, 1, 0) (1, n − 1, 0) - гиперболический,

(n − 1, 0, 1) (0, n − 1, 1) - параболический,

(n − 2, 2, 0) (2, n − 2, 0) - ультрагиперболический,

(n − 2, 0, 2) (0, n − 2, 2) - ультрапараболический.

Примеры.

1. Уравнение, описывающее волновые процессы.

utt = a2 u + f(t, x, ru, u),

(1.5)

P

n ∂2u

u(x) = i=1 ∂x2i , ru(x) = grad u(x). Уравнение (1.5) называется при n = 1 - уравнение колебания струны, при n = 2 - уравнение колебания мембраны,

при n = 3 - уравнение колебания трехмерных тел.

Определим тип уравнения колебания. Матрица A(x) уравнения

utt − a2 u = f(t, x, ru, u),

где u = u(t, x), t E1, x En, имеет размерность n + 1 ×n + 1, не зависит от x и имеет вид.

		1	0	. . .	0
A =		.0. .	−. .a.2	.. .. ..	.0. .	.
		0	. . .	0	−a2

Её собственные числа λ1 = 1, λ2 = λ3 = . . . , = λn = λn+1 = −a2. Тип уравнения - гиперболический: (1, n, 0).

Замечание. В случае уравнения (1.5) размерность независимых переменных (t, x1, . . . , xn) равна n+1 и (n+1, 0, 0), (n, 1, 0), (n, 0, 1) ((0, n+1, 0),

(1, n, 0), (0, n, 1)) типы эллиптический, гиперболический, параболический соответственно.

6

2.Уравнение (уравнение теплопроводности, диффузионное уравнение), описывающее распространение тепла, диффузионные процессы.

ut = a2 u + f(t, x, ru, u),

(1.6)

где u = u(t, x), t E1, x En. Перепишем (1.6) в виде

0 · utt − a2 u = −ut + f(t, x, ru, u),

и запишем матрицу A(x) = A:

		0	a2 . . .	0
		0	0 . . . 0
A =	. . .		−. . . . . . . . .
		0	. . . 0		a	2
				−

.

Её собственные числа λ1 = 0, λ2 = λ3 = . . . , = λn = λn+1 = −a2. Тип уравнения - параболический: (0, n − 1, 0).

3. Уравнение Пуассона.
u = f(x),	(1.7)
где u = u(x), x Ω En.
Если f(x) = 0, уравнение (1.7) принимает вид
u = 0.	(1.8)

Уравнение (1.8) называется уравнением Лапласа. Запишем матрицу A(x) = A:

		1	0 . . .	0
A =		.0. . .1. . .. .. .. .		0. .	.
		0	. . . 0	1

Её собственные числа λ1 = λ2 = . . . , = λn = 1. Тип уравнения - эллиптический: (n, 0, 0).

7

Отметим, что тип рассмотренных выше уравнений, не зависит от точки x, так как матрицы A в этих уравнениях постоянные.

4. Уравнение Трикоми ( уравнение газовой динамики).

∂2u ∂2u

x2 ∂x21 + ∂x22 = 0.

Матрица коэффициентов имеет вид	02		! .
A(x) =		1
	x	0

Собственные числа матрицы λ1 = x2, λ2 = 1. При x2 > 0 тип уравнения эллиптический (n, 0, 0); при x2 = 0 тип уравнения параболический (n −

1, 0, 1); при x2 < 0 тип уравнения гиперболический (n − 1, 1, 0), n = 2.

2. Постановки краевых задач

Стационарные уравнения

Рассмотрим дифференциальное операторное выражение

	n			∂2(·)		n		∂(·)
L( ) =		a			+	b			+ c( ),
·	X		ij ∂xi∂xj			Xi	i ∂xi		·
	i,j=1					=1

где aij, bi, c - заданные коэффициенты, зависяшие от x, x Ω, Ω En. Рассмотрим уравнение

L(u) = f.

(2.1)

Первая краевая задача. Найти функцию u(x), определённую в Ω, удовлетворяющую в Ω уравнению (2.1) и на границе ∂Ω области Ω совпадающую с заданной функцией ϕ(x):

u|∂Ω = ϕ(x), x Ω.

(2.2)

Условие (2.2) называют граничным условием 1-го рода. Задача (2.1), (2.2) - первая краевая задача для уравнения (2.1), описывающего стационарные процессы.

8

Определение классического решения задачи (2.1), (2.2): Функция u(x) C2(Ω) ∩ C(Ω) называется классическим решением задачи (2.1), (2.2), если в Ω она удовлетворяет уравнению (2.1), а на границе условию

(2.2).

Ниже мы будем использовать следующие функциональные простран-

ства.
C(Ω) = { множество функций f			непрерывных на Ω},
C(Ω) = { множество функций f			непрерывных на Ω},
Ck(Ω) = { множество функций f			непрерывных на Ω, имеющих в Ω

все непрерывные производные по всем своим аргументам

до порядка k включительно}, k > 0, k− целое, C0(Ω) = C(Ω).

Вторая краевая задача. Найти функцию u(x), определённую в Ω,

удовлетворяющую в Ω уравнению (2.1) и на границе ∂Ω
						∂u	∂Ω = ψ(x).	x Ω.	(2.3)
					∂N
	∂u	n		∂u
Здесь	∂N	=	aij		cos(n, xi) - производная по конормали, ψ(x) - за-
				∂xj
		i,j=1
		P

данная на ∂Ω функция, n - внешная нормаль к границе ∂Ω. Условие (2.3) - граничное условие 2-го рода. Задача (2.1), (2.3) - вторая краевая задача.

Определение классического решения задачи (2.1), (2.3): Функция u(x) C2(Ω)∩C1(Ω) называется классическим решением задачи (2.1), (2.3), если в Ω она удовлетворяет уравнению (2.1), а на границе ∂Ω условию

(2.3).

Третья краевая задача. Найти функцию u(x), определённую в Ω,

удовлетворяющую в Ω уравнению (2.1) и на границе ∂Ω условию
∂N + σ(x) ∂Ω = µ(x),	x Ω.	(2.4)

∂u

Здесь σ(x), µ(x) - заданные на ∂Ω функции, σ(x) > 0.

Условие (2.4) - граничное условие 3-го рода. Задача (2.1), (2.4) - третья краевая задача.

9

(t, x) QT

В случае, когда		1, i = j,
aij	= δij =			bi(x) = c(x) = 0,
		0,	i = j,
			6

уравнение (2.1) является уравнением Пуассона

u = f.

Первая краевая задача для уравнения Пуассона:

		u = f,
		u|∂Ω = ϕ(x),			x ∂Ω.
Вторая краевая задача для уравнения Пуассона:
		u = f,
		∂u	∂Ω = ψ(x),		x ∂Ω.
		∂n
		n			n	∂u cos(n, xi) =	∂u.
В этом случае	∂u	=	aij	∂u cos(n, xi) =
	∂N	i,j=1		∂xi	i=1	∂xi	∂n

P P

Замечание. Можно на различных частях границы задавать различ-

ные условия. В таком случае говорят, что поставлена смешанная краевая задача.

Нестационарные уравнения

Введем следующие обозначения: QT = {(t, x)|0 < t < T, x Ω}, где Ω

En - ограниченная область, ST = (0, T ] × ∂Ω - боковая граница множества

QT , T = ST ∩ Ω, и

		n		∂2u(t, x)			n		∂u(t, x)
		X					Xi
	L(u) =		aij(t, x) ∂xi∂xj			+		bi(t, x) ∂xi			+ c(t, x)u(t, x)
		i,j=1					=1

- дифференциальный оператор с коэффициентами зависящими от временной переменной t и пространственной переменной x = (x1, . . . , xn), x Ω.

Рассмотрим уравнение

∂u(t, x) = L(u) + f(t, x), (2.5) ∂t

10