Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Algedra3.doc
Скачиваний:
40
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
822.78 Кб
Скачать

3). У просторі будь-які три вектори, що не лежать в одній площині, утворюють базис.

4). У просторі за базис можна взяти, наприклад, систему одиничних векторів .

Означення8.

Рангом системи векторів називається число векторів в будь-якому її базисі.

Інакше, ранг системи векторів – це максимальне число лінійно незалежних векторів у даній системі.

Приклади

1. Ранг простору дорівнюєn.

2. Знайти базис і ранг системи векторів

Це лінійно залежна система (три вектори в просторі , теорема 2). Кожна пара векторів утворює лінійно залежну систему, оскільки координати векторів пропорційні.

За базис можна взяти один з цих векторів, інші вектори його лінійні комбінації. Нехай - базис, тоді,, ранг системи векторів дорівнює 1.

Теорема 4.

Ранг системи векторів не зміниться, якщо до цієї системи додати (вилучити) будь-якій вектор, що є лінійною комбінацією векторів даної системи.

► Нехай деяка система векторів. Додамо до неї вектор, який є лінійною комбінацією деяких векторів ізS. Отримаємо нову систему . Виділимо в системіS базис. Нехай він утворений векторами . Будь-якій вектор системиS розкладається за цими векторами. Але тоді, очевидно, і вектор розкладається за. Отже, ті ж саміr векторів утворюють базис системи . Таким чином, системиS і допускають спільний базис, тому їх ранги збігаються. ◄

4. Еквівалентні перетворення системи векторів

Означення 9.

Еквівалентними (елементарними) перетвореннями системи векторів називають такі перетворення, які не змінюють ранг цієї системи.

Елементарними перетвореннями системи векторів є такі перетворення:

1) Перестановка місцями векторів;

2) Множення будь-якого вектора системи на число, відмінне від нуля;

3) Додавання до будь-якого вектора системи іншого вектора цієї системи, помноженого на число, відмінне від нуля.

При допомозі елементарних перетворень дану систему векторів можна звести до ступінчастої системи, зовнішній вигляд якої дає можливість відразу знайти ранг і один з базисів.

Приклад.

Знайти ранг системи векторів і будь-якій її базис

(15)

Для спрощення обчислення поміняємо місцями вектори так, щоб перша компонента першого вектора у системі векторів дорівнювала 1. Систему (15) запишемо у вигляді:

(16)

Систему (16) перетворимо так : вектор залишимо без зміни, дододамо -5, дододамо -4, дододамо -3. Дістанемо нову систему векторів з тим же рангом.

(17)

Далі вектори ів (17) залишаємо без зміни. Дододаємо -, дододаємо. Матимемо таку систему векторів

або

Отримали ступінчасту систему, вона лінійно незалежна. Ранг початкової системи дорівнює 3, а базис складається з векторів : ,,.

Вправи для самостійного розв’язування

  1. Знайти вектор , якщо=2-3+, де= (1, 2, 3, 0),= (-2, 1, 5, -1) і= (2, -2, 0, 1).

  1. Чи може бути вектор лінійною комбінацією векторів,,і, якщо= (-1, 4),== (-2, -1) ,= (1, 1),= (0, 0).

  2. Записати у векторній формі систему рівнянь:

  1. Систему рівнянь

записано у векторній формі . Записати її в загальній формі.

  1. Чи лінійно залежна система векторів:

а)

б)

6. Знайти ранг системи векторів :

а). б)

7. Знайти один з базисів системи векторів і виразити всі її вектори, що не входять до знайденого базису, через цей базис :

а)

б)

в)

§ 4. Матриці

1. Початкові відомості про матриці

Означення

Матрицею називається прямокутна таблиця із m рядків і n стовпців.

Таблицю записують в дужках (круглих або квадратних) або обмежують подвійними рисками. Число , які утворюють матрицю, називаються елементами матриці. Таким чином, матрицю, що маєm рядків і n стовпців, в загальному вигляді записують так :

, , або(1)

Замість записів (1) часто вживають короткі записи, а саме:

(),[], або ,,

Матриці позначають буквами А, В, С і т.д. Позначаючи матрицю (1) буквою А, записують :

(2)

або скорочено : А= (), А=,

Сукупність елементів

()

матриці (2) називають і-им рядком , а сукупність елементів

- кстовпцем цієї матриці. Рядок можна вважати матрицею, що має один рядок і n стовпців, а стовпець – матрицею з m рядками і одним стовпцем.

Якщо в матриці А= число рядків дорівнює числу стовпців, тобтоm=n , то ця матриця називається квадратною матрицею порядку n; якщо ж число рядків не дорівнює числу стовпців, , то вона називаєтьсяпрямокутною матрицею розміру ("ем" на "ен").

Діагональ квадратної матриці

,

що йде з лівого верхнього до правого нижнього кута, тобто утворена елементами називаєтьсяголовною діагоналлю; діагональ , що йде з лівого нижнього в правий верхній кут, тобто утворена елементами називаєтьсяпобічною діагоналлю.

Елементарними перетвореннями матриці А називають такі операції :

  1. Переставляння (транспозиція) двох рядків (стовпців) матриці А.

  2. Множення рядка (стовпця) матриці А на деяке відмінне від нуля число.

  3. Додавання до одного рядка (стовпця) матриці А іншого її рядка (стовпця), помноженого на деяке число відмінне від нуля.

В теорії систем лінійних рівнянь широко використовуються, так званні ступінчасті матриці.

Ступінчастою матрицею називається матриця, що задовольняє такі умови :

  1. Якщо в і-му рядку перший відмінний від нуля елемент стоїть на к-му місці, то в наступному і + 1 - му рядку на перших к місцях стоять нулі.

2) Якщо кожен елемент і-го рядка дорівнює нулю, то й кожен елемент наступного і +1-го рядка також дорівнює нулю.

Ступінчастими, наприклад, є матриці:

, ,.

Кожну матрицю скінченним числом елементарних перетворень рядків можна перетворити на ступінчасту матрицю. Якщо матрицю А перетворено на ступінчасту, то говорять, що матрицю А зведено до ступінчастого вигляду.

Приклад

За допомогою елементарних перетворень рядків перетворити матрицю на ступінчасту

. ◄

Матриці А і В вважають рівними, якщо число рядків (стовпців) матриці А дорівнює числу рядків ( стовпців) матриці В і їхні елементи з однаковими індексами рівні

(;).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]