- •§7. Однопорожнинний гіперболоїд
- •Властивості однопорожнинного гіперболоїда
- •§ 8. Двопорожнинний гіперболоїд
- •Властивості двопорожнинного гіперболоїда
- •§ 9. Еліптичний параболоїд
- •§ 10. Гіперболічний параболоїд
- •Властивості гіперболічного параболоїда
- •§ 11. Прямолінійні твірні на поверхні другого порядку
- •1. Прямолінійні твірні на поверхні однопорожнинного гіперболоїда
- •2. Прямолінійні твірні гіперболічного параболоїда
- •§ 12. Діаметральні площини поверхні другого порядку
- •§13. Центр поверхні другого порядку
Якщо ж a=b=c, то із (1) матимемо: , або.
Це рівняння сфери з центром у початку координат. Отже, сфера є частинним випадком еліпсоїда.
Справедлива й така теорема:
Т е о р е м а. При перетині еліпсоїда довільною площиною в перерізі утворюється еліпс.
Д о в е д е н н я.
Оскільки еліпсоїд є обмеженою поверхнею, то при перетині його з будь-якою площиною утвориться обмежена крива другого порядку (див. теорему із §1). Тому ця крива не може бути ні параболою, ні гіперболою, ні парою прямих. Отже, вона є еліпсом, що й треба було довести (рис. 6.2).
П р и к л а д. Записати рівняння еліпсоїда, осі якого збігаються з осями координат, і який проходить через точку та перетинає площинупо еліпсу
. (2)
Р о з в’ я з а н н я.
Якщо осі координат збігаються з осями еліпсоїда, то ця система координат є канонічною, тому рівняння еліпсоїда матиме вигляд:
. (3)
Площина перетинає цей еліпсоїд по еліпсу. Співставляючи останнє рівняння із (2) матимемо:. Тоді рівняння (3) набуде вигляду:.
За умовою точка лежить на цій поверхні, тому
,
звідки .
Тому рівняння даного еліпсоїда .
Відповідь: .
§7. Однопорожнинний гіперболоїд
Означення. Однопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат задається рівнянням
. (1)
Це рівняння називається канонічним рівняннямоднопорожнинного гіперболоїда, а система координат, в якій воно задане, –канонічною системою координат.
Властивості однопорожнинного гіперболоїда
Аналізуючи рівняння (1), встановлюємо такі властивості даної поверхні:
Однопорожнинний гіперболоїд не проходить через початок координат.
Однопорожнинний гіперболоїд не перетинає вісь , а дві інші осі перетинає в точках, симетричних відносно початку координат, а саме:
вісь у точках,
вісь у точках.
Ці точки називаються вершинами однопорожнинного гіперболоїда, а відрізки – дійсними осями однопорожнинного гіперболоїда. Відрізокназивається його уявною віссю, числа– дійсними півосями,– уявною піввіссю.
Однопорожнинний гіперболоїд симетричний відносно всіх координатних площин, координатних осей і початку координат, оскільки всі змінні входять у його рівняння в парних степенях.
Вісь називаютьголовною віссюоднопорожнинного гіперболоїда.
4. Якщо дану поверхню перетнути площинами, паралельними до площини, то в перерізі утворяться еліпси, рівняння проекцій яких на площинумають вигляд
,
або
.
Розміри цих еліпсів зростають із збільшенням .
Еліпс найменших розмірів утворюється при , тобто при перетині однопорожнинного гіперболоїда площиною. Рівняння цього еліпса. Він називаєтьсягорловим еліпсомоднопорожнинного гіперболоїда (рис. 7.1).
Рис. 7.1 Рис. 7.2
Якщо однопорожнинний гіперболоїд перетнути площиною , де, то в перерізі утвориться гіпербола, рівняння проекції якої на площинумає вигляд:
,
або
.
Якщо , то уявною віссю такої гіперболи є вісь.
Якщо , то уявною віссю є вісь.
Якщо , то в перерізі утворяться дві прямі, що перетинаються:(рис. 7.2).
Аналогічні перерізи утворюються і при перетині однопорожнинного гіперболоїда площинами, паралельними до площини .
Розглянемо поряд з однопорожнинним гіперболоїдом (1) конічну поверхню, задану рівнянням
. (2)
Ця поверхня не перетинається з однопорожнинним гіперболоїдом, бо система рівнянь
несумісна.
Оскільки цей конус проходить через початок координат, який міститься всередині однопорожнинного гіперболоїда, то і весь конус міститься всередині однопорожнинного гіперболоїда. Якщо обидві поверхні перетнути площиною , рівняння якої, то в перетині з гіперболоїдом отримаємо гіперболу
,
а в перетині з конусом – дві прямі: , які будуть асимптотами цієї гіперболи (рис. 7.3). Можна показати, що ця властивість конуса, пов’язана з однопорожнинним гіперболоїдом, залишається в силі і при перетині будь-якою іншою площиною, що проходить через вісь.
У зв’язку з цим даний конус називають асимптотичним конусом однопорожнинного гіперболоїда (рис. 7.4).
z z
-a a x y
x
Рис. 7.3 Рис. 7.4
Рівняння ітакож задаютьоднопорожнинні гіперболоїди з головною віссю відповідно та.
П р и к л а д.Записати канонічне рівняння однопорожнин-ного гіперболоїда, якщо він перетинає площинупо колу, а площину– по гіперболі.
Р о з в’ я з а н н я.
Однопорожнинний гіперболоїд перетинає площину по колу, тому його головною віссю є вісь, а його рівняння має вигляд:
. (3)
Ця поверхня перетинається з площиною по еліпсу. Співставляючи з даною лінією перетину, або, отримаємо:.
Тоді рівняння (3) набуде виду: .