Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
kontrolnye / Теория вероянтости / Підручник з ТЙ.doc
Скачиваний:
124
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
2.21 Mб
Скачать

Елементи теорії ймовірностей

Виникнення теорії ймовірностей пов'язане з азартними іграми, в яких результат залежить тільки від випадку. Саме тут проявились закономірності, що діють у світі випадкових подій. Одними з перших зробили спробу осмислити ці закономірності італійський математик Д. Кардано (1501 - 1576), який написав трактат "Про азартні ігри", та відомий нідерландський фізик X. Гюйгенс (1629 - 1695) у своїй роботі "Про розрахунки в азартних іграх". Виникали й складніші задачі, зумовлені розвитком страхової справи, оцінкою похибок при вимірюванні величин.

Як наука, теорія ймовірностей сформувалася і була систематично викладена в роботах французьких математиків Б. Паскаля (1623-1662), П. Ферма (1601-1665) і П.С. Лапласа (1749-1827). Значний внесок у розвиток теорії ймовірностей внесли німецький математик К.Ф. Гаусе (1777-1855) і французький математик С.Д. Пуассон (1781-1840).

Великий внесок у подальший розвиток теорії ймовірностей зробили російські математики В.Я. Буняковський (1804-1889), П.Л. Чебишев (1821-1894), А. А. Марков (1856-1922), О.М. Ляпунов (1857-1918), С.Н. Бернштейн (1880-1968), О.Я. Хінчин (1894-1959), A.M. Колмогоров (1903-1987) та українські математики Б.В. Гнєденко (1912-1997), Й.1. Пхман (1918-1985), В.І. Гливенко (1897-1940), B.C. Королюк (нар. 1925 p.), А.В. Скороход (нар. 1930 p.).

Предметом теорії ймовірностей є вивчення ймовірносних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Основні поняття, методи, теореми та формули теорії ймовірностей широко використовуються в науці, техніці, економіці, в теоріях надійності, у плануванні та організації виробництва, у страховій та податковій справах, у соціології, демографії та охороні здоров'я.

§ 1. Події та операції над ними

Поняття події відноситься до основних неозначуваних понять теорії ймовірностей. Під подією розуміють кожне явище, про яке можна сказати, що воно відбувається (відбудеться) або не відбувається (не відбудеться).

Події позначають великими латинськими літерами: А, В, С, .... Конкретний зміст явища може бути різний. Можна, наприклад, розглядати такі події:

подія А - студент Петренко виконує завдання з вищої математики;

подія В - поїзд Москва - Суми прибуває до міста Суми точно за графіком;

подія С - завтра вранці буде хмарно;

подія D - підкинута монета впала на підлогу гербом вгору.

Означення 10.1. Подія В називається окремим випадком події А, якщо кожного разу, коли відбувається подія В, також відбувається і подія А.

Таку залежність між подіями А і В позначають так: В А або A В.

Наприклад, нехай в урні лежать білі, червоні та зелені кульки і А - подія, яка полягає в тому, що з урни вийняли кольорову кульку, а В - подія, яка полягає в тому, що з урни вийняли зелену кульку. Очевидно, що в другому випадку вийняли кольорову кульку, тобто подія В за означенням 10.1 є окремим випадком події А. Отже, В а А.

Означення 10.2. Події А і В називаються рівносильними, якщо В А і А В.

Рівносильність подій А і В позначають "А = В" і часто при цьому події А і В називають рівними.

Наприклад, учень накреслив кут і позначив точку всередині цього кута. Нехай подія А - позначена точка лежить на бісектрисі кута, а подія В - позначена точка рівновіддалена від сторін кута. Очевидно, А В і В А, тобто А = В.

Означення 10.3. Сумою двох подій А і В називається подія, рівносильна появі принаймні однієї з подій А або В.

Суму подій А і В позначають A U В або А + В.

Наприклад, стрілець зробив два постріли в мішень. Подія А - стрілець влучив у мішень при першому пострілі, подія В -

стрілець влучив у мішень при другому пострілі. Тоді подія А + В - стрілець з двох пострілів влучив у мішень (або влучив при першому пострілі, або влучив при другому пострілі, або влучив два рази).

Означення 10.4. Добутком двох подій А і В називається подія, рівносильна появі обох подій А і В.

Добуток подій А і В позначають АВ або А·В.

Наприклад, стрілець зробив два постріли у мішень. Події А і В - як і в попередньому прикладі. Тоді подія А-В - стрілець влучив у мішень двічі.

Означення 10.5. Подія, рівносильна непояві події А, називається протилежною до події А.

Протилежну подію позначають А .

Наприклад, якщо подія А - монета випала гербом вгору, то протилежна подія А - монета випала цифрою вгору.

Означення 10.6. Подія, яка неминуче відбудеться, називається вірогідною або достовірною.

Вірогідну подію позначають /.

Наприклад, при підкиданні грального кубика на верхній грані може випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок. Тоді подія А - на верхній грані випаде ціле число очок, є вірогідною.

Означення 10.7. Подія називається неможливою, якщо протилежна їй подія вірогідна.

Неможливу подію позначають О. Наприклад, при киданні грального кубика на верхній грані випало 10 очок - неможлива подія.

Означення 10.8. Подія А, що не є вірогідною і не є неможливою, називається випадковою.

Наприклад, подія, яка полягає в тому, що при підкиданні грального кубика випало 5 очок, є випадковою.

Означення 10.9. Дві події А і В називаються несумісними, якщо їх добуток є неможлива подія, тобто АВ=О.

Наприклад, для довільної події А дві події А і А несумісні, оскільки А • А =О.

Означення 10.10. Кажуть, що подія А поділяється на окремі випадки А1, А2,..., Ап, якщо події At попарно несумісні, а їх. сума рівносильна події А.

Наприклад, якщо подія А - при киданні грального кубика випало парне число очок, подія Ах - випало число 2, подія А2 -випало число 4, подія А2 - випало число 6, то А = Ах+ А2+ А3.

Означення 10.11. Кажуть, що події А12,...,Ап утворюють повну систему подій, якщо ці події попарно несумісні, а їх сума є вірогідна подія.

Наприклад, якщо при киданні грального кубика подія Ах -випала 1, подія А2 - випала 2, подія А3 - випала 3, подія А4 - випала 4, подія А5 - випала 5, подія А6 - випала 6, то ці події попарно несумісні, а їх сума - вірогідна подія, оскільки одна з граней випаде обов'язково. Отже, вони утворюють повну систему подій.