Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
24
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
248.73 Кб
Скачать

Раздел ¹ 8. Численное интегрирование

Содержание

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

4

Формула Симпсона

7

Устойчивость квадратурного процесса

11

Предметный указатель

16

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении приближенного значения

определенного интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = Za

b

 

 

 

 

 

 

 

f(x)dx

 

 

 

 

на основе ряда значений подынтегральной функции

f(x)|x=xk

= f(xk) = yk .

. При этом

 

 

 

Задается сетка

{a = x0

< x1 < . . . < xn = b}

Общий подход к решению задачи следующий.

 

 

 

 

 

шаг разбиения h = xi − xi−1. Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную

кривой f(x), осью x и прямыми x = a и x = b.

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0

a=x0

x1

 

 

 

 

xn=b

 

 

 

 

Рис. 8.1.

 

 

 

 

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Вычисление интеграла производится разбиением отрезка [a, b] на множество меньших отрезков [xi−1, xi] и суммированием площадей каждой из получившихся полосок (рис. 8.1).

Формулы численного определения однократного интеграла называются квадратурными формула-

ми, двойного и более кратного — кубатурными.

n

Приближенным значением интеграла будем считать выражение In = P li(f), где li(f) — прибли-

i=1

женное значение интеграла на участке [xi−1, xi]. При этом формула для вычисления li(f) называется

простейшей квадратурной формулой, а формула для вычисления In составной квадратурной формулой.

Обычный и естественный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a, b] интерполирующей функцией g(x) сравнительно простого вида (например, полиномом).

Пусть R — некоторый класс функций f(x), определенных на отрезке [a, b], а p(x) — некоторая фикси-

b

R

рованная неотрицательная на [a, b] функция, для которой p(x)dx > 0. Предполагается, что для любой

a

b

R

функции f(x) R существует p(x) |f(x)| dx. Функцию p(x) называют весовой функцией.

a

Итак, если рассмотреть интеграл в виде

b

Z

I = p(x)f(x)dx,

a

то в случае замены подынтегральной функции интерполирующей функцией g(x) сам интеграл I запишется в виде:

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

b

b

ZZ

I =

p(x)f(x)dx =

p(x)g(x)dx + Rn(f).

 

a

 

a

 

Величину Rn(f) = |I − In| =

ab p(x)f(x)dx − ab p(x)g(x)dx

называют остаточным членом квадра-

 

 

R

 

 

 

 

 

 

турной формулы.

R

 

 

Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Рассмотрим формулы для приближенного вычисления интегралов

b

Z

I = p(x)f(x)dx.

a

Ограничимся случаем, когда p(x) ≡ 1. Этот метод основан на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими отрезок [a, b] на равные части. Такие формулы называются формулами Ньютона-Котеса.

Итак, пусть задана равномерная сетка {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}, xi = x0 + ih, i = 0, n. Т.е. шаг

h = b − a — есть величина постоянная и разбивает отрезок [a, b] на n равных интервалов. Формулы n

Ньютона-Котеса — формулы замкнутого типа, т.к. концы промежутка интегрирования являются узлами интерполирования.

Обозначим yi = f(xi). В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа:

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

 

g(x) = Ln(x) = yi(x)ϕi(x) = y0(x)ϕ0(x) + y1(x)ϕ1

(x) + . . . + yn(x)ϕn(x).

 

 

=0

 

 

 

 

 

 

Многочлен ϕi(x) представляет собой функцию

 

 

 

 

 

 

ϕi(x) =

(x − x0)(x − x1) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)

.

 

 

(xi − x0)(xi − x1) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)

 

 

 

1, xj

= xi,

 

 

 

 

 

 

ϕi(xj) =

0, , xj 6= xi,

i, j =

0, n.

Следовательно, исходный интеграл может быть представлен в виде

b

b

 

b

 

 

 

n

I = Z f(x)dx = Z

 

 

 

 

 

Ln(x)dx + Rn(f) = Z ϕi(x)f(xi)dx + Rn(f) = i=0 Cif(xi) + Rn(f),

a

a

 

a

 

 

 

X

где коэффициенты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ci = Z

b

 

 

 

 

 

 

 

ϕi(x)dx

 

(8.1)

a

называются весами. Если веса Ci вычисляются по формуле (8.1), то соответствующую им квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.

Обозначим x − x0 = q — выраженная в сеточных шагах длина x − x0. Тогда h

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

i−1

 

 

 

 

 

 

i+1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

h

 

 

h

 

 

 

 

(x

 

 

x

 

)(x

 

x

) . . .

(x

 

x

 

 

 

)(x

 

 

 

x

 

) .

.

. (x

 

 

x

 

) = hn+1

 

x − x0

 

x

 

 

(x0

+ h)

. . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . .

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

= hn+1q(q − 1) . .

. (q − n);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

(x0

+ nh)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

0

 

 

 

 

i

1

 

 

i

 

i−1

 

 

 

 

i

 

 

i+1

 

 

 

 

i

 

n

 

 

h

 

 

 

h

 

 

 

 

(x

 

 

x

)(x

 

 

x

) . . .

(x

 

 

x

 

 

 

)(x

 

 

 

 

x

 

 

 

) .

.

. (x

 

x

) = hn

 

xi − x0

 

xi

 

 

(x0 + h)

. . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . .

 

 

 

h

 

 

 

h

 

. . .

 

 

i

 

 

h

 

 

 

 

 

 

= hni(i − 1) · . . 1 · (−. 1) · (−2) · . . . (−(n − i)) =

 

 

xi

 

 

xi

 

 

1

 

 

 

xi

xi+1

 

 

 

 

 

x

 

 

 

(x0

+ nh)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=(−1)n−i · hn · i! · (n − i)!

Втаком случае формулу (8.1) можно записать в виде

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

C

= ϕ

(x)dx =

(−1)n−i

 

hn+1

 

Za

q(q − 1) . . . (q − n)

dx =

i! (n − i)! · hn+1

 

 

i

Za

i

 

 

q − i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

=

(−1)n−i

h

· Z0

 

q(q − 1) . . . (q − n)

dq.

 

 

 

 

i!(n − i)! ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q − i

 

 

h

=

 

x − x0

= q

 

dx = dq

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

(8.2)

Формула (8.2) окончательно определяет веса квадратурной формулы Ньютона-Котеса.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Заменим в (8.2) h = b −n a и введем обозначение Ci = (b − a)Ki. Тогда коэффициенты

(−1)n−i 1

Ki = i! (n − i)! · n ·

n

(

 

q − i

 

dq

(8.3)

Z0

q

 

 

q

1) . . . (q

 

n)

 

 

называются коэффициентами Котеса. А сама квадратурная формула Ньютона-Котеса принимает вид

Z

b

n

 

 

 

 

 

 

f(x)dx = (b − a) i=0

Kif(xi) + Rn(f).

(8.4)

a

 

X

 

Для коэффициентов Котеса имеют место соотношения:

n

1. P Ki = 1.

i=0

2. Ki = Kn−i.

Формула Симпсона

Квадратурная формула Симпсона является частным случаем квадратурных формул НьютонаКотеса при n = 2. Т.е. подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа 2-ой степени (рис. 8.2). По этой причине формулу Симпсона еще называют формулой парабол.

Разобъем отрезок [a, b] на 2 равных отрезка. Т.е. мы получим сетку {a = x0, x1, x3 = b}, которая содержит три узла. Формула Симпсона содержит три коэффициента Котеса:

K0 = K2; K0 + K1 + K2 = 1.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

 

 

 

 

 

(−1)2−0

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

(q3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

q(q − 1)(q − 2)dq = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

K

 

=

1

·

Z

(q2

3q + 2)dq =

1

3q2

+ 2q)

0

=

 

0

 

2

0!

·

(2

0)!

 

q

 

4 Z

 

 

 

4

3

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K0 = K2 =

6; K1

= 1 − 6 =

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

f(x)dx = (x2 − x0)

1

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xZ0

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6y0

+ 6y1

+ 6y2

+ Rсимп =

3 (y0 + 4y1 + y2) + Rсимп.

 

(8.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2(x)

Rсимп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a=x0

x1

 

xn=b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Формула (8.5) является трехточечной квадратурной формулой Симпсона. Ее можно было получить

другим способом. Вычислим значение подынтегральной функции в 3 равноудаленных точках: f(−h),

f(0) и f(h). График интерполяционного полинома Лагранжа 2-й степени, проходящего через эти точ-

ки — парабола (рис. 8.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

L2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

h

 

0

 

 

h

 

 

 

 

 

Рис. 8.3.

 

 

 

 

Запишем общий вид уравнения параболы: y = a + bx + cx2. Получаем интеграл:

 

 

h

 

 

h

 

 

 

 

 

 

b

c

 

 

b

c

b

c

 

 

 

 

I = Z (a + bx + cx2)dx = (ax + 2x2 +

3x3)

 

h

= ah + 2h2 +

3h3 + ah −

2h2 +

3h3 =

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

= 2ah + 23ch3 = h3 (6a + 2ch2).

y1

= a + bx1

+ cx1

,

y1

= a,

 

y0

= a + bx0

+ cx02

,

y0

= a

bh + ch2,

 

 

2

 

 

 

 

y2 = a + bx2 + cx22

,

y2 = a + bh + ch2,

 

 

 

 

2

= y0 − 2y1 + y2,

 

 

 

 

2ch

y1 = a,

ch2 = y0 − y1 + bh,ch2 = y2 − y1 − bh,

I = h3 (6a + 2ch2) = h3 (6y1 + y0 − 2y1 + y2) = h3 (y0 + 4y1 + y2).

Если [a, b] разбить на четное количество отрезков, равное n = 2m, и к каждому частичному сдвоенному промежутку [x0, x2], [x2, x4], . . . , [x2m−2, x2m] применить формулу Симпсона, то получим составную формулу Симпсона:

b

 

m x2i

 

h

 

 

h

 

 

f(x)dx =

 

f(x)dx =

(y0 + 4y1 + y2) +

(y2 + 4y3 + y4) +

 

 

Ra

 

iPx2Ri−2 h

3

 

3

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . +

 

(y2m−2 + 4y2m−1 + y2m) + Rсимп =

(8.6)

= 3

 

3

+ Rсимп.

f(a) + 2 i=1

f(x2i) + 4 i=0

f(x2i+1) + f(b)

h

 

 

m−1

 

 

m−1

 

 

 

 

 

P

 

 

P

 

 

 

 

Квадратурный метод Симпсона — метод 4-го порядка точности (p = 4), т.е. дает точные результаты при интегрировании полиномов до 3-й степени включительно.

Назад Первая Предыдущая Следующая Последняя Перейти Предметный указатель

Соседние файлы в папке Лекции