79

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид

(3.14)

. (3.15)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (3.14) и (3.15), получим

(3.16)

(3.17)

откуда (3.18)

Решая уравнения (3.16) и (3.18), находим

, (3.19)

. (3.20)

Разберем несколько примеров.

1. При v₂ = О

, (3.21)

. (3.22)

Проанализируем выражения (3.21) и (3.22) для двух шаров различных масс:

Рис. 16

a) m1=m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2 = 0) (рис. 16), то после удара остановится первый шар (u1=0), а вто­рой будет двигаться с той же скоростью и u том же направлении, в котором двигался пер­ вый шар до удара (u2 =v1);

б) m₁ >m₂ . Первый шар продолжает двигаться в том же направ­лении, как и до удара, но с меньшей скоростью (u₁<v₁). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого шара после удара (u₂>u₁) (рис.17).

в) m₁<m₂. Направление движения первого шара при ударе изме­няется - шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сто­рону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей ско­ростью, т.е. u₂<v₁ (рис. 18).

г) m₂m₁ (например, столкновение шара со стеной). Из уравне­ний (3.21) и (3.22) следует, что u₁= -v₁, u ₂   0.

2. При m₁= m₂ выражения (3.19) и (3.20) будут иметь вид

u₁=v₂, u₂=v₁,

т.е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно неупругий удар– столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

Рис. 19

Продемонстрировать абсолютно неуп­ругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис.19).

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара и, то, используя закон со­хранения импульса, можно записать

Откуда

(3.23)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны m₁=m₂, то

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при цент­ральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформа­ций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит "потеря" кинети­ческой энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.

Эту потерю можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

.

Используя (3.23), получим

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (U₂ =0), то

Когда m₂m₁ (масса неподвижного тела очень большая), то uu₁ и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной де­формации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо боль­шей (m₁ m₂ ), тогда uu₁ и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную де­формацию стены.

Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит "потеря" механической энергии под действием диссипативных сил.

4. Механика твердого тела

4.1. Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием мо­мента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс mматериальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Рис. 20

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относи­тельно его геометрической оси (рис.20) . Разобьем ци­линдр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом г и внешним — r+dr.

Момент инерции каждого полого цилиндра dJ=r²dm (т.к drr, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2rhdr. Если  - плотность материала, то dm=2rhdr и dJ=2hr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

,

но т.к. r²h - объем цилиндра, то его масса m=r²h, а момент инерции .

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: мо­мент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

.(4.1)

4.2. Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис.21).

Рис. 21

Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами находящимися на расстоянии от оси вращения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами mi опишут окружности различных радиусов ri с различными линейными скоростями i.

Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

. (4.2)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму ки­нетических энергий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (4.2) , получим

,

где J_z -момент инерции тела относитель­но оси z . Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела pавна

. (4.3)

Из сравнения формулы (4.3) с выражением (3.4) для кинетической энергии тела, движущегося поступательно следует, что момент инерции вращательного движения - мера инертности тела. Формула (4.3) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвиж­ной оси. В случае цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии вращения и энергии поступательного движения.

+,

где m - масса скатывающегося тела; v_с - скорость центра масс тела; J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс;  - угловая скорость тела.