Основные формулы и законы магнетизма

Вектор магнитной индукции: ,

где Гн/м – магнитная постоянная;- магнитная проницаемость среды;- вектор напряженности магнитного поля.

Магнитный момент рамки с током: ,

где - сила тока;- площадь рамки;- единичный вектор нормали к поверхности рамки; направление вектора связано с направлением тока, текущего по рамки, правилом правого винта.

Механический момент сил, действующих на рамку с током в магнитном поле: . , гдеи;- угол междуи.

Работа, совершаемая силами магнитного поля при вращении рамки с током:

,

где и- углы между векторамии, соответственно, в начальном и конечном положениях вектора.

Потенциальная энергия рамки с током в магнитном поле: ,

где - угол между векторамии.

Закон Био-Савара-Лапласа:

,

где - вектор магнитной индукции поля, созданного элементом проводникас током, в точке, положение которой определяется радиус-вектором, проведенным от указанного элемента проводника; направление векторасовпадает с направлением тока, текущего по проводнику;- модуль радиус-вектора.

Модуль вектора :,

где - модуль элемента проводника;- угол между векторамии.

Согласно принципу суперпозиции, вектор магнитной индукции результирующего поля в данной точке равен векторной сумме магнитных индукций , созданных полей:.

При наложении двух магнитных полей модуль вектора магнитной индукции результирующего поля в данной точке: ,

где и- модули векторов магнитных индукций полей, созданных в данной точке;- угол между векторамии.

Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током , в данной точке:, где- расстояние от данной точки до проводника с током.

Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током :,

где - расстояние от данной точки до прямой, проведенной вдоль проводника с током;и- углы между указанной прямой, направление которой определяется направлением тока, и радиус-векторами, проведенными из концов отрезка проводника в данную точку.

Модуль вектора магнитной индукции в центре кругового проводника с током:, где- радиус проводника.

Циркуляция вектора по замкнутому контуру :,

где - вектор элемента контура, направление которого совпадает выбранным направлением обхода контура;- проекция векторана касательную к контуру, направленную вдоль обхода контура;- угол между векторамии.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме: ,

где - число проводников с токами, охватываемых контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта. Ток противоположного направления является отрицательным.

Модуль вектора магнитной индукции внутри соленоида с током:,

где - количество витков;- длина соленоида.

Модуль вектора магнитной индукции внутри тороида с током:,

где - количество витков;- радиус средней окружности тороида.

По закону Ампера сила, действующая на элемент проводника с токомв магнитном поле индукции:

,

где направление вектора определяется направлением тока, текущего по проводнику.

Модуль силы Ампера: ,

где - угол между векторамии.

Модуль силы взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами и, расположенных на расстояниидруг от друга, приходящейся на отрезок проводника длиной:.

Сила Лоренца , действующая на электрический заряд, движущийся со скоростьюв магнитном поле индукции:.

Модуль силы Лоренца: , где- угол между векторамии.

Если заряженная частица массой движется со скоростью, перпендикулярной вектору индукции, то радиус окружности, вдоль которой движется эта частица:.

Поток вектора магнитной индукции через площадку (магнитный поток):

, где ;- площадь площадки;- единичный вектор нормали к площадке;- проекция векторана единичный вектор нормали;- угол между векторамии.

В однородном поле (поток вектора магнитной индукции через плоскую площадку :, где ;- площадь площадки;- единичный вектор нормали к площадке;- проекция векторана единичный вектор нормали;- угол между векторамии.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность:

.

Теорема Гаусса для магнитного поля индукции : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:.

Полный магнитный поток (потокосцепление), сцепленный со всеми витками соленоида:

,

где - модуль вектора магнитной индукции;- количество витков;

- сила тока, текущего в соленоиде; - длина соленоида.

Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению проводника с током в магнитном поле:,

где – магнитный поток, пересеченный проводником.

Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле:

,

где - изменение магнитного потока, пронизывающего контур; и – магнитные потоки через контур, соответственно, в начальном и конечном его положениях.

По закону Фарадея электродвижущая сила (Э.Д.С.) электромагнитной индукции, возникающая в проводящем контуре или соленоиде:

,

где - магнитный поток, пронизывающий контур или соленоид; - магнитный поток через один виток соленоида; - количество витков соленоида.

Разность потенциалов на концах прямого проводника длиной, движущегося со скоростью в однородном магнитном поле индукции , равна модулю Э.Д.С. электромагнитной индукции, возникающей в этом проводнике:

,

где – магнитный поток, пересеченный проводником за время;- угол между векторамии.

Э.Д.С. электромагнитной индукции, возникающая в рамке, содержащей витков площадью, при вращении рамки с угловой скоростьюотносительно оси, проходящей через плоскость этой рамки, в однородном магнитном поле индукции:

,

где - магнитный поток, пронизывающий один виток рамки.

Магнитный поток , сцепленный с замкнутым контуром или соленоидом, по которому течет ток:

,

где - индуктивность контура.

Электродвижущая сила (Э.Д.С.) самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре (соленоиде) при изменении силы токав нем: .

Мгновенное значение силы тока в цепи, содержащей источник тока с Э.Д.С., активное сопротивление и индуктивность :

а) после замыкания цепи: ;

б) после размыкания цепи: ,

где - сила установившегося тока при времени.

Амплитуды переменных Э.Д.С. и,соответственно, в первичной и вторичной обмотках трансформатора связаны соотношениями:,

где ,и,- амплитуды переменных токов и количества витков, соответственно, в первичной и вторичной обмотках трансформатора.

Энергия магнитного поля, создаваемого токомв замкнутом контуре (соленоиде) индуктивностью :

.

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида:

.

Период собственных колебаний напряжения и тока в контуре, содержащем катушку с индуктивностью , конденсатор с электроемкостьюи малое активное сопротивление:

.

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси :

,

,

где - проекция вектора напряженности электрического поля на ось ,- проекция векторанапряженности магнитного поля на ось,и- амплитуды, соответственно, электрического и магнитного полей.

Скорость электромагнитной волны в среде, имеющей диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость:

,

где - скорость электромагнитной волны (света) в вакууме;

- абсолютный показатель преломления среды.

Из уравнений Максвелла следует, что в электромагнитной волне:

,

где и- мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей:

,

где и- амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей.

Поскольку объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны, то объемная плотность энергии электромагнитной волны:

.

ОПТИКА. АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Волновая оптика

Абсолютный показатель преломления среды: ,

где и- скорости электромагнитных волн (света) в вакууме и среде.

Закон преломления света на границе раздела двух сред с абсолютными показателями преломления и:

,

где - угол падения,- угол преломления луча света;- относительный показатель преломления двух сред.

Полное отражение наблюдается при падении света из среды оптически более плотной () в среду оптически менее плотную (), т.е. при>. В этом случае угол преломленияи:

и ,

где - предельный угол полного отражения света; при угле падения>свет полностью отражается от границы раздела сред.

Формула тонкой собирающей линзы: ,

где - фокусное расстояние линзы;- расстояние от предмета до оптического центра линзы;- расстояние от оптического центра линзы до изображения предмета. Для тонкой рассеивающей линзы расстоянияисчитаются отрицательными.

Оптическая сила линзы: .

Оптическая длина пути световой волны: ,

где - геометрический путь световой волны;- абсолютный показатель преломления среды.

Оптическая разность хода двух когерентных световых волн: ,

где и- оптические пути световых волн в первой и во второй средах.

Разность фаз колебаний векторов напряженностей электрического поля (световых векторов) двух когерентных световых волн:

,

где - длина этих волн в вакууме.

Условия максимумов интенсивности света при интерференции:

и , где

Условия минимумов интенсивности света при интерференции:

и , где

Координаты максимумов и минимумов интенсивностей света в интерференционной картине, полученной от двух когерентных источников:

и ,

где - расстояние от источников света до экрана;- расстояние между источниками света;

Ширина интерференционной полосы: .

Оптическая разность хода двух световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей плоскопараллельной тонкой пленки, находящейся в воздухе с абсолютным показателем преломления :

,

где - толщина пленки;- абсолютный показатель преломления пленки;

- длина световых волн в воздухе (вакууме); и- углы, соответственно, падения и преломления света. Второе слагаемое в этих формулах учитывает увеличение оптической длины пути световой волны напри отражении ее от среды оптически более плотной (>).

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (темных колец в проходящем свете):

при

и радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (светлых колец в проходящем свете):

при

где - радиус кривизны линзы;- длина световой волны в воздухе (вакууме),- абсолютный показатель преломления среды, находящейся между линзой и стеклянной пластинкой.

Радиусы зон Френеля, построенных на сферической волновой поверхности:

при ,

где - радиус сферической волновой поверхности точечного источника света;- расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения;

- длина световой волны в данной среде.

Дифракция Фраунгофера на одной щели:

а) условие максимумов интенсивности света ;

б) условие минимумов интенсивности света ,

где - ширина щели;- угол дифракции, определяющий направление максимума или минимума интенсивности света; - длина световой волны в данной среде;

При падении параллельного пучка света на щель под углом условие дифракционных максимумов имеет вид:.

Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке:

а) условие главных минимумов интенсивности света

при ;

б) условие дополнительных минимумов интенсивности света

при ();

в) условие главных максимумов интенсивности света

при ,

где - ширина одной щели;- постоянная решетки;- общее число щелей;- угол дифракции, определяющий направление максимума или минимума интенсивности света;- длина световой волны в данной среде;- порядок спектра.

При падении параллельного пучка света на дифракционную решетку под углом условие главных максимумов имеет вид:.

Разрешающая способность дифракционной решетки:

,

где и- длины двух световых волн, еще разрешаемых решеткой по критерию Рэлея;- общее число щелей; - порядок спектра.

При дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке направления максимальных интенсивностей этих лучей определяются по формуле Вульфа-Брэггов:

при ,

где - расстояние между параллельными кристаллографическими плоскостями;- длина волн рентгеновских лучей;- угол скольжения рентгеновских лучей.

Поляризация света

Интенсивность света численно равна энергии, переносимой электромагнитными волнами за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения этих волн. Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды вектора напряженности электрического поля (амплитуды светового вектора):~.

Интенсивность света, являющегося совокупностью электромагнитных волн:

~,

где и- интенсивность и амплитуда вектора напряженности электрического поляk-той электромагнитной волны; и- проекции вектора напряженности электрического поляk-той электромагнитной волны на взаимно перпендикулярные оси координат и;- количество электромагнитных волн.

В естественном свете:

~,

где - интенсивность естественного света.

После прохождения естественного света через первый поляризатор интенсивность полученного плоско поляризованного света:

, где - интенсивность естественного света.

По закону Малюса интенсивность плоско поляризованного света, прошедшего через второй поляризатор (анализатор):

,

где - угол между оптическими осями первого и второго поляризаторов.

С учетом отражения и поглощения света в поляризаторах:

,

где и- коэффициенты, соответственно, отражения и поглощения света в обоих поляризаторах.

Степень поляризации света: ,

где и- максимальная и минимальная интенсивности света, пропускаемого поляризатором (анализатором).

По закону Брюстера после падения естественного света на границу раздела двух сред под углом отраженный луч является плоско поляризованным и перпендикулярным преломленному лучу. Из закона преломления следует, что:,

где - относительный показатель преломления сред.

Тепловое излучение

Спектральная плотность энергетической светимости (излучательности) тела численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности тела в интервале длин волн единичной ширины:

,

где - термодинамическая температура тела;- энергия электромагнитных волн, излучаемых за единицу времени с единицы площади поверхности тела в интервале длин волн отдо.

Интегральная энергетическая светимость (излучательность) тела численно равна мощности излучения с единицы площади поверхности тела во всем интервале длин волн от нуля до бесконечности:

.

Спектральная поглощательная способность тела равна отношению мощности электромагнитных волн, поглощаемых телом, к мощностиэлектромагнитных волн, падающих на единицу площади поверхности этого тела в интервале длин волн отдо:

.

Для абсолютно черного тела: . Для серого тела:< 1.

Согласно закону Кирхгофа для любого тела:

,

где - спектральная поглощательная способность тела;и- спектральные плотности энергетических светимостей, соответственно, данного тела и абсолютно черного тела.

Закон Стефана-Больцмана для излучательности абсолютно черного тела:

,

где - постоянная Стефана-Больцмана.

Излучательность серого тела:

.

Первый закон Вина устанавливает связь между длиной волны , на которую приходится максимальная спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела, и термодинамической температуройэтого тела:

, где .

Согласно второму закону Вина максимальная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела:

, где .

Соотношение между спектральными плотностями энергетической светимости абсолютно черного тела для длин и частот электромагнитных волн:

,

где - скорость света в вакууме.

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела:

или ,

где - постоянная Планка (;- постоянная Больцмана;T – термодинамическая температура; e - основание натурального логарифма.

Энергия кванта электромагнитного излучения (фотона):

, где - частота электромагнитных колебаний.

Атомная физика

Масса и импульс фотона:

и ,

где - скорость света в вакууме.

Давление света: ,

где - энергия света, падающего на единицу площади поверхности за единицу времени;- коэффициент отражения света.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

,

где - энергия кванта электромагнитного излучения (фотона);- работа, совершаемая электроном при выходе из металла;- масса электрона;- максимальная скорость электрона, покинувшего металл. Минимальная частота, при которой еще наблюдается фотоэффект (красная граница фотоэффекта):

.

Задерживающее напряжение , при котором электрон, покинувший катод, уже не может достигнуть анода, определяется равенством:

,

где - заряд электрона.

Длина волны де Бройля, сопутствующая частицы массой :

,

где - постоянная Планка;- импульс частицы;- кинетическая энергия частицы.

Согласно первому постулату Бора движение электрона вокруг ядра возможно только по определенным стационарным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотношению: ,

где- порядковый номер орбиты (главное квантовое число);- радиус-ой орбиты;и- масса и скорость электрона;- модуль орбитального момента импульса электрона;- постоянная Планка, деленная на.

Радиус -ой стационарной орбиты электрона в атоме водорода:

,

где - электрическая постоянная;и- масса и заряд электрона.

Согласно второму постулату Бора при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией: ,

где и- полная механическая энергии электрона в стационарных состояниях с номерами орбити.

Полная механическая энергия электрона, массой , находящегося на-ой орбите в атоме водорода:

,

где

При переходе электрона из стационарного состояния в стационарное состояниес меньшей энергией испускается квант электромагнитного излучения:

.

Сериальная формула, определяющая частоту волны света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую:

,

где - постоянная Ридберга ();;.

Соотношения неопределенностей координат и проекций импульсов микрочастицы:

т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше постоянной Планка.

Соотношение неопределенностей энергии микрочастицы и ее времени пребыванияв некотором состоянии:

.

Ядерная физика

Атомное ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , где- символ химического элемента;- атомный номер (число протонов в ядре);- массовое число, которое равно сумме количеств протонов и нейтронов в ядре.

Число ядер , распавшихся за интервал времени отдо (), пропорционально промежутку времении числунераспавшихся ядер к моменту времени:,

где - постоянная распада данного химического элемента.

Закон радиоактивного распада ядер: ,

где - число нераспавшихся ядер в момент времени;- число нераспавшихся ядер в момент времени;- основание натурального логарифма.

Число ядер, распавшихся в течение времени :.

Период полураспада - время, в течение которого число нераспавшихся ядер в среднем уменьшается в два раза:

.

Среднее время жизни радиоактивного ядра - промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается враз:.

Число ядер (атомов), содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где - масса изотопа;- молярная масса изотопа;- число Авогадро.

Активностью нуклида (изотопа) в радиоактивном источнике называется число распадов ядер, происходящих в образце в 1 секунду: .

Активность изотопа изменяется со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер:

,

где - активность изотопа в момент времени.

Удельная активность изотопа: ,

где - масса изотопа;- молярная масса изотопа.

Правила смещения радиоактивных распадов ядер:

для - распада,

для - распада,

для - распада,

где - ядро гелия (-частица);- электрон;- позитрон. Правила смещения являются следствием двух законов сохранения: массы частиц (массового числа) и электрического заряда (зарядового числа).

Масса покоя системы взаимодействующих частиц меньше суммы масс покоятех же частиц, находящихся в свободном состоянии. Дефектом массы системы частиц называется разность указанных масс:.

Дефект массы ядра: ,

где - масса протона;- масса нейтрона;- масса ядра.

Энергия, которую необходимо затратить, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи ядра: ,

где - скорость света в вакууме. Если энергия связи выражена в мегаэлектрон-вольтах, а массы нуклонов и ядра - в атомных единицах массы, то=931,4 МэВ/а.е.м.

Удельная энергия связи (энергия связи на один нуклон): .

Символическая запись ядерной реакции: ,

где и- исходное и конечное ядра;и- бомбардирующая и испускаемая частицы.

Символическая запись ядерной реакции может быть дана в развернутом виде, например:

.

Энергия ядерной реакции: ,

где и- суммы масс атомных ядер, соответственно, до и после реакции. В эту формулу можно подставлять массы атомов, поскольку до и после реакции общее количество электронов в оболочках атомов одинаково и поэтому массы электронов исключаются.

Если >, то ядерная реакция идет с выделением энергии. Если же<, то ядерная реакция идет с поглощением энергии.

Контрольное задание

Вариант 1

1. В однородное магнитное поле с индукцией В=0,1 Тл помещена квадратная рамка площадью S=25 см². Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 60⁰. Найти вращающий момент, действующий на рамку, если по ней течет ток I=1 А.

2. Найти магнитную индукцию В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода, в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии R=4 см от его середины. Длина отрезка провода =20 см, а сила тока в проводеI=10 А.

3. Круговой виток радиуса R=15 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу. Сила тока в проводе I₁=1 А, сила тока в витке I₂=5 А. Расстояние между центром витка и проводом 20 см. Найти магнитную индукцию В результирующего поля в точке, одинаково отстоящей от центра витка (по нормали) и от провода.

4. Протон, ускоренный разностью потенциалов U =500В, влетая в однородное магнитное поле с магнитной индукцией В=210^-3 Тл, движется по окружности. Найти радиус окружности.

5. В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл расположим прямолинейный участок проводника с силой тока 5 А под углом 30⁰ к вектору магнитной индукции. Определить силу, с которой поле действует на каждый сантиметр участка проводника.

6. В однородное магнитное поле напряженностью Н=10⁵А/м помещена квадратная рамка со стороной а=10 см. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол =60⁰. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.

7. В магнитное поле, изменяющееся по закону В=В_0·cost (В₀=0,1 Тл; =4 с^-1), помещена квадратная рамка со стороной а=50 см, причем нормаль к рамке образует с направлением поля угол =45⁰. Найти ЭДС индукции, возникающую в рамке в момент времени t=5 с.

8. Найти индуктивность соленоида длиной и сопротивлениемR, если обмоткой соленоида является проволока массой m (принять плотность проволоки и ее удельное сопротивление соответственно за  и ^/).

9. Луч света выходит из стекла в вакуум. Предельный угол полного внутреннего отражения 42⁰. Найти скорость света в стекле.

10. В опыте Юнга расстояние от щелей до экрана равно 3 м. Найти угловое рас­стояние между соседними светлыми полосами, если третья светлая полоса на экране отстоит от центра интерференционной картины на 4,5 мм.

11. В воздухе на линзу с абсолютным показателем преломления n=1,58 нормально падает монохроматический свет с длиной волны =0,55 мкм. Для устранения потерь света в результате его отражения на линзу наносится тонкая прозрачная пленка. Найти: 1) оптимальный абсолютный показатель преломления для пленки; 2) минимальную толщину пленки.

12. Найти радиус пятой зоны Френеля, если расстояние от точечного источника света с (=0,6 мкм) до волновой поверхности и от волновой поверхности до точки наблюдения равно 2,5 м.

13. На дифракционную решетку длиной 15мм, содержащую N=300 штрихов, падает нормально монохроматический свет, с длиной волны­­­ =550 нм. Найти число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки, и угол, соответствующий последнему максимуму.

14. Найти, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два николя, главные плоскости которых образуют угол в 30⁰, если каждый из николей как поглощает, так и отражает 5% падающего на них света.

15. Найти, какая длина волны соответствует максимальной спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела , равной 1,310¹¹ Вт/м³.

16. Фотоны с энергией 5 эВ вырывают фотоэлектроны из металла с работой выхода А=4,7 эВ. Найти максимальный импульс, передаваемый поверхности этого металла при вылете электрона.

17. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.

18. Определить длину волны де Бройля для молекулы водорода массой 3,4·10^-24 кг, движущейся при температуре 300 К со среднеквадратичной скоростью.

19. Найти неопределенность энергии (в электрон-вольтах) электрона, находящегося внутри атома диаметром 0,3 нм.

20. Какой изотоп образуется из после одного β-распада и одного α-распада?

21. Вычислить дефект массы, энергию связи ядра и его удельную энергию связи для элемента .

22. Масса радиоактивного изотопа натрия равна 0,2·10^-6 кг. Период полураспада 62 секунды. Определить начальную активность препарата и его активность через 10 минут.

23. Найти среднюю продолжительность жизни атома радиоактивного изотопа кобальта .

24. Определить энергию ядерной реакции: .