Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

СЛАУ

.docx
Скачиваний:
83
Добавлен:
27.02.2016
Размер:
966.76 Кб
Скачать

Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

институт нефти и газа

кафедра топливообеспечения и горючесмазочных материалова

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MATHCAD

Студент НБ 11-09 _____________ Скоморощенко А. А.

Преподаватель _____________ Ващенко Г. В.

Красноярск 2011

Оглавление

Цель работы 3

Постановка задач 3

Основная часть 3

Системы линейных алгебраических уравнений 3

Функция lsolve 4

Функция augment 5

Функция submatrix 6

Решение СЛАУ методом Гаусса 7

Решение СЛАУ методом Крамера 8

Вывод 9

Список использованных источников 10

Цель работы

Научиться решать системы линейных уравнений средствами Mathcad.

Постановка задач

  1. Изучить материал по линейной алгебре, необходимый для

выполнения лабораторной работы;

  1. Изучить свойство функций lsolve, augment и submatrix в программе

Mathcad;

  1. Научиться применять функции lsolve, augment и submatrix в

среде Mathcad для решения систем линейных алгебраических уравнений методами Гаусса и Крамера.

Основная часть

Системы линейных алгебраических уравнений

Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида

(1)

В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:

,

(2)

где А — матрица коэффициентов СЛАУ размерности mxn;

х — вектор-столбец неизвестных;

b— вектор-столбец свободных коэффициентов.

СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель не равен нулю.

Для упрощения решений подобных систем уравнений была создана программа Mathcad, с набором различных встроенных функций, предназначенных для решения СЛАУ, некоторые из них, такие как lsolve, augment и submatrix, мы рассмотрим далее в работе.

Функция lsolve

В Mathcad СЛАУ можно решить в более удобной для записи форме (2), с помощью функции lsolve.

Lsolve(A,b) - это встроенная функция, которая возвращает вектор x для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов b.

Функцию lsolve применяют в работе с Mathcad следующим образом (скриншот 1):

  • создается в документе требуемая СЛАУ;

  • опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов -

А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b;

  • в панели инструментов выбираем необходимую нам функцию –

lsolve(_,_);

  • подставляем в выбранную функцию необходимые параметры А, b;

  • получаем решение.

Скриншот 1 – применение функции lsolve в Mathcad

Функция augment

Функцию augment применяют для решения СЛАУ методами Крамера и Гаусса в программе Mathcad.

Аugment(A,B) – это встроенная функция, которая объединяет матрицы A и B в одну новую, при этом матрица B располагается справа от матрицы A, и обе матрицы должны иметь одинаковое число строк.

Функцию augment применяют в работе с Mathcad следующим образом (скриншот 2):

  • создается в документе требуемая СЛАУ;

  • опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов –

А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b, при этом матрица b должна располагаться справа от матрицы A;

  • в панели инструментов выбираем необходимую нам функцию –

augment (_,_);

  • подставляем в выбранную функцию необходимые параметры А, b;

  • получаем объединенную матрицу матриц A и b.

Скриншот 2 – применение функции augment в Mathcad

Функция submatrix

Функцию submatrix, также как и функцию augment и lsolve, применяют для решения СЛАУ в программе Mathcad.

Функция submatrix(А,_,_,_,_) – встроенная функция, с помощью которой можно выделить из заданной матрицы один столбец или строку.

Функцию submatrix применяют в работе с Mathcad следующим образом (скриншот 3):

  • создают матрицу, какой-либо размерности;

  • в панели инструментов выбираем необходимую нам функцию –

submatrix(А,_,_,_,_);

  • подставляем в выбранную функцию параметры, с помощью

значения которых мы хотим выделить столбцы или строки в новую матрицу;

  • получаем ответ.

Скриншот 3 – применение функции submatrix в Mathcad

Решение СЛАУ методом Гаусса

СЛАУ в программе Mathcad можно решать не только с помощью функции lsolve, но и с помощью рассмотренных выше функций augment и submatrix, используя следующий ход вычислений (скриншот 4):

  • создается в документе СЛАУ;

  • выбрав из встроенных функций функцию ORIGIN, присваиваем ей

значение равное единице (роль данной функции заключается в том, что в последующем решении системы, в матрицах первая строка, будет иметь первый коэффициент, равный единице);

  • опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов -

А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b;

  • с помощь функции augment, создаем объединенную матрицу;

  • выбираем из встроенных функций функцию rref, и присваиваем ей

параметр, соответствующий объединенной матрице (с помощью функции rref приводим матрицу к ступенчатому виду для дальнейшего решения);

  • используя функцию submatrix, находим неизвестные.

Скриншот 4 – решение СЛАУ в Mathcad методом Гаусса

Решение СЛАУ методом Крамера

СЛАУ можно решать не только методом Гаусса, но и методом Крамера. Для того чтобы произвести вычисления в программе Mathcad, достаточно двух, уже изученных нами функций: augment и submatrix.

Ход решения СЛАУ в Mathcad (скриншот 5):

  • создается в документе СЛАУ;

  • выбрав из встроенных функций функцию ORIGIN, присваиваем ей

значение равное единице;

  • опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов -

А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b;

  • вычисляем определитель матрицы А;

  • с помощью функций augment и submatrix создаем матрицы с

заменой необходимого нам столбца столбцом свободных коэффициентов – b;

  • вычисляем определители полученных матриц;

  • находим неизвестные СЛАУ по формуле Крамера:

(3)

подставляя в нее полученные значения определителей.

Скриншот 5 – решение СЛАУ в Mathcad методом Крамера

Вывод

Программа Mathcad позволяет упростить решение СЛАУ с помощью встроенных в нее функций. Так, c помощью функции lsolve, система линейных уравнений решается в одно действие. СЛАУ методом Гаусса с помощью функций augment и submatrix решается гораздо быстрей и проще, нежели это было бы на бумаге. В данной работе были приведены решения простейших систем уравнений, которые вычислить и на бумаге не составит труда, но с помощью программы Mathcad можно решить сложнейшие системы в кротчайшее время, над решениями которых человек затратит много времени. В работе были рассмотрены всего лишь несколько функций из множества приведенных в Mathcad.

Список использованных источников

1 Плис, А. И. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: учеб. пособие/ А. И. Плис, Н. А. Сливина. – М., 1999. – 656с.

2 Панферов, А. И. Применение Mathcad в инженерных расчетах: учеб. пособие/ А. И. Панферов, А. В. Лопарев, В. К. Пономарев – М., 2004. – 88с.

3 Симонович, С. В. Информатика: базовый курс: учеб. для вузов/ С. В. Симонович – Питер, 2001. – 640с.

4 Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб./ В. С. Шипачев – М., 1998. – 479с.

5 Черненко, В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб. пособие/ В. Д. Черненко – М., 2003. – 703с.