СЛАУ
.docxФедеральное государственное автономное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
институт нефти и газа
кафедра топливообеспечения и горючесмазочных материалова
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MATHCAD
Студент НБ 11-09 _____________ Скоморощенко А. А.
Преподаватель _____________ Ващенко Г. В.
Красноярск 2011
Оглавление
Цель работы 3
Постановка задач 3
Основная часть 3
Системы линейных алгебраических уравнений 3
Функция lsolve 4
Функция augment 5
Функция submatrix 6
Решение СЛАУ методом Гаусса 7
Решение СЛАУ методом Крамера 8
Вывод 9
Список использованных источников 10
Цель работы
Научиться решать системы линейных уравнений средствами Mathcad.
Постановка задач
-
Изучить материал по линейной алгебре, необходимый для
выполнения лабораторной работы;
-
Изучить свойство функций lsolve, augment и submatrix в программе
Mathcad;
-
Научиться применять функции lsolve, augment и submatrix в
среде Mathcad для решения систем линейных алгебраических уравнений методами Гаусса и Крамера.
Основная часть
Системы линейных алгебраических уравнений
Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида
(1) |
В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:
, |
(2) |
где А — матрица коэффициентов СЛАУ размерности mxn;
х — вектор-столбец неизвестных;
b— вектор-столбец свободных коэффициентов.
СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель не равен нулю.
Для упрощения решений подобных систем уравнений была создана программа Mathcad, с набором различных встроенных функций, предназначенных для решения СЛАУ, некоторые из них, такие как lsolve, augment и submatrix, мы рассмотрим далее в работе.
Функция lsolve
В Mathcad СЛАУ можно решить в более удобной для записи форме (2), с помощью функции lsolve.
Lsolve(A,b) - это встроенная функция, которая возвращает вектор x для системы линейных уравнений при заданной матрице коэффициентов А и векторе свободных членов b.
Функцию lsolve применяют в работе с Mathcad следующим образом (скриншот 1):
-
создается в документе требуемая СЛАУ;
-
опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов -
А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b;
-
в панели инструментов выбираем необходимую нам функцию –
lsolve(_,_);
-
подставляем в выбранную функцию необходимые параметры А, b;
-
получаем решение.
Скриншот 1 – применение функции lsolve в Mathcad
Функция augment
Функцию augment применяют для решения СЛАУ методами Крамера и Гаусса в программе Mathcad.
Аugment(A,B) – это встроенная функция, которая объединяет матрицы A и B в одну новую, при этом матрица B располагается справа от матрицы A, и обе матрицы должны иметь одинаковое число строк.
Функцию augment применяют в работе с Mathcad следующим образом (скриншот 2):
-
создается в документе требуемая СЛАУ;
-
опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов –
А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b, при этом матрица b должна располагаться справа от матрицы A;
-
в панели инструментов выбираем необходимую нам функцию –
augment (_,_);
-
подставляем в выбранную функцию необходимые параметры А, b;
-
получаем объединенную матрицу матриц A и b.
Скриншот 2 – применение функции augment в Mathcad
Функция submatrix
Функцию submatrix, также как и функцию augment и lsolve, применяют для решения СЛАУ в программе Mathcad.
Функция submatrix(А,_,_,_,_) – встроенная функция, с помощью которой можно выделить из заданной матрицы один столбец или строку.
Функцию submatrix применяют в работе с Mathcad следующим образом (скриншот 3):
-
создают матрицу, какой-либо размерности;
-
в панели инструментов выбираем необходимую нам функцию –
submatrix(А,_,_,_,_);
-
подставляем в выбранную функцию параметры, с помощью
значения которых мы хотим выделить столбцы или строки в новую матрицу;
-
получаем ответ.
Скриншот 3 – применение функции submatrix в Mathcad
Решение СЛАУ методом Гаусса
СЛАУ в программе Mathcad можно решать не только с помощью функции lsolve, но и с помощью рассмотренных выше функций augment и submatrix, используя следующий ход вычислений (скриншот 4):
-
создается в документе СЛАУ;
-
выбрав из встроенных функций функцию ORIGIN, присваиваем ей
значение равное единице (роль данной функции заключается в том, что в последующем решении системы, в матрицах первая строка, будет иметь первый коэффициент, равный единице);
-
опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов -
А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b;
-
с помощь функции augment, создаем объединенную матрицу;
-
выбираем из встроенных функций функцию rref, и присваиваем ей
параметр, соответствующий объединенной матрице (с помощью функции rref приводим матрицу к ступенчатому виду для дальнейшего решения);
-
используя функцию submatrix, находим неизвестные.
Скриншот 4 – решение СЛАУ в Mathcad методом Гаусса
Решение СЛАУ методом Крамера
СЛАУ можно решать не только методом Гаусса, но и методом Крамера. Для того чтобы произвести вычисления в программе Mathcad, достаточно двух, уже изученных нами функций: augment и submatrix.
Ход решения СЛАУ в Mathcad (скриншот 5):
-
создается в документе СЛАУ;
-
выбрав из встроенных функций функцию ORIGIN, присваиваем ей
значение равное единице;
-
опираясь на заданную СЛАУ, создаем матрицу коэффициентов -
А необходимой размерности и матрицу свободных коэффициентов – b;
-
вычисляем определитель матрицы А;
-
с помощью функций augment и submatrix создаем матрицы с
заменой необходимого нам столбца столбцом свободных коэффициентов – b;
-
вычисляем определители полученных матриц;
-
находим неизвестные СЛАУ по формуле Крамера:
(3) |
|
подставляя в нее полученные значения определителей. |
|
Скриншот 5 – решение СЛАУ в Mathcad методом Крамера
Вывод
Программа Mathcad позволяет упростить решение СЛАУ с помощью встроенных в нее функций. Так, c помощью функции lsolve, система линейных уравнений решается в одно действие. СЛАУ методом Гаусса с помощью функций augment и submatrix решается гораздо быстрей и проще, нежели это было бы на бумаге. В данной работе были приведены решения простейших систем уравнений, которые вычислить и на бумаге не составит труда, но с помощью программы Mathcad можно решить сложнейшие системы в кротчайшее время, над решениями которых человек затратит много времени. В работе были рассмотрены всего лишь несколько функций из множества приведенных в Mathcad.
Список использованных источников
1 Плис, А. И. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: учеб. пособие/ А. И. Плис, Н. А. Сливина. – М., 1999. – 656с.
2 Панферов, А. И. Применение Mathcad в инженерных расчетах: учеб. пособие/ А. И. Панферов, А. В. Лопарев, В. К. Пономарев – М., 2004. – 88с.
3 Симонович, С. В. Информатика: базовый курс: учеб. для вузов/ С. В. Симонович – Питер, 2001. – 640с.
4 Шипачев, В. С. Высшая математика: учеб./ В. С. Шипачев – М., 1998. – 479с.
5 Черненко, В. Д. Высшая математика в примерах и задачах: учеб. пособие/ В. Д. Черненко – М., 2003. – 703с.