MATEMATIKA / КР / КР_2 семестр
.pdfКонтрольная работа №2.
Задание 1. Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
1. |
а) lim |
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x2 4x 5 |
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|||||||||||||||||||
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x2 1 |
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x 1 |
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в) lim xctg5x |
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x 0 |
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2. |
а) lim |
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x4 1 |
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2x4 x2 1 |
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|||||||||||||||||||||
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x 1 |
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в) lim |
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tg 4x |
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||||||||
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sin x |
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|||||||||
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x 0 |
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||||||||
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3. |
а) lim |
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3 8 3x x2 |
2 |
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x x2 |
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|||||||||||||
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x 0 |
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в) lim |
sin 7 x |
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||||||||||||||
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sin 2 x |
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|||||||||||||||||
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x 1 |
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4. |
а) lim |
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x3 3x 2 |
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|||||||||||||||||
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x3 x2 x 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
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|||||||||||||||||||||||
|
в) lim |
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sin x |
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|||||||
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2 |
x2 |
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||||||||||||||
|
x |
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||||||||||||||||||
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5. |
а) lim |
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2x2 |
x |
1 |
2 |
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|||||||||||||||
|
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|
x3 2x2 x 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
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|||||||||||||||||||||||
|
в) lim x sin |
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|||||||||||
|
x |
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|
|
x |
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6. |
а) lim |
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|
3 4x 2 |
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|||
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2 x |
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2x |
|||||||||||||||||||
|
x 2 |
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|
в) lim |
|
|
1 x2 |
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||||||||
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|
|
sin x |
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||
|
x 1 |
|
|
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|||||||||
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|
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|||||||||||
7. |
а) lim |
|
|
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|
9 2x 5 |
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|||||||||||||||||
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|||
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|
|
|
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|||
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|
|
|
|
3 |
|
x |
2 |
|
4 |
|
|
|
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|
|
|
||||||||
|
x 8 |
|
|
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|
|
|
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|
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||||||||||
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|
|
|
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||||
|
в) lim |
1 2cos x |
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
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|||||||||||||||
|
x /3 |
|
|
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|
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|
x3 3x2 |
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||||||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
x |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) lim |
|
|
|
1 14 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
x 2x 3 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
г) lim |
|
2x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
2x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
б) lim |
|
|
x2 |
4x 5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
г) lim |
x2 4 |
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
2x2 |
||||||||||||||||||
4x4 13x2 |
7 |
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
x2 4 |
|
x2 3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x6 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
5x |
5 |
1 |
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) lim |
|
|
x3 8 |
x 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
б) lim |
1 x11 7x13 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x4 10 |
|
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|||||||||
г) lim |
|
|
x4 5 |
x 2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x4 2x2 |
1 |
x4 2x2 1 |
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
2 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
а) lim |
|
1 x 3 1 3x |
||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
x x5 |
|
|
|||||
|
в) lim |
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
tg3x |
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9. |
а) |
lim |
|
|
x3 2x 1 |
|
|||||||
|
|
|
x4 2x 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||
|
в) lim |
1 cos3x |
|
|
|||||||||
|
|
|
sin2 7x |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
а) lim |
|
|
1 x 1 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 1 x 3 1 x |
||||||||||||
|
|
x 0 |
|
||||||||||
|
в) |
lim |
1 sin 2x |
|
|
|
|||||||
|
4x 2 |
|
|
||||||||||
|
|
x /4 |
|
|
Задание 2. Найти точки разрыва непрерывности в точках устранимого разрыва I-рода:
|
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|
2x3 7x 1 6 |
|||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x6 13x2 x 3 |
||||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||
г) lim |
x2 5 |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
x3 x4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
4 |
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
г) lim |
x3 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) lim |
|
x 1 2 |
3 7x 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) lim |
1 8x |
|
x2 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, доопределить функцию по разрыва или найти скачки в точках
1 x 1. f (x) 1 x3
3. f (x) sin 3x sin 2x
5.f (x) arctg 1
x
7.f (x) 1 x
x2 1
9.f (x) arcsin 1
x
2. f (x) x
x2 x 6
4.f (x) 3x/(1 x2 )
6. |
f (x) |
x |
||
|
|
|||
cos x |
||||
8. |
f (x) |
2 |
|
|
|
||||
1 2x |
10.f (x) 21/ x
Задание 3. Вычислить производные функций:
1.f (x)
2.f (x)
3.f (x)
4.f (x)
5.f (x)
6.f (x)
7.f (x)
8.f (x)
9.f (x)
10.f (x)
5x cos x ;
2x2 x 1 ;
32 4x
(x 1)tgx ;
|
|
ex2 |
|
; |
|
|
||
|
x2 |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
2 3 |
x2 |
tgxx ;
log |
x |
2x ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
4 3x3 |
||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
x 3 (2 x3 )2 |
x 1(3x 2) ; 4x2
x2ctgx 2 ;
|
|
|
1 12 |
||||
|
|
||||||
f (x) |
x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
f (x) 2sin 2 x ;
1 x
f (x) e 1 x ;
f (x) tg 2 x ; tgx2
f (x) 3arctg (2 x ) ;
f (x) sin(arcsin x) ;
f (x) 1 tg(x2 x 2 ) ;
|
|
x |
|
|
f (x) 10log3 x ; |
|
|||
1 |
|
|||
f (x) cos |
|
; |
||
log2 x |
f (x) 72 ln x7 1 x7 ;
f (x) x7/ln x .
f (x) (sin x)5ex .
f (x) xarcsin x .
f (x) (x2 1)cos x .
f (x) xecos x .
f (x) (ln x)3x .
f (x) (arcsin x)ex .
f (x) xex x9 .
f (x) (tgx)ln tgx/4 .
f (x) (x3 4)tgx .
Задание 4. Найти производную 3-го порядка:
1. |
f (x) sin 2x cos(x 1) |
2. |
f (x) lg(5x 2) |
|||
3. |
f (x) 23x 5 |
4. |
f (x) |
4 |
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
5. f (x) 4x 7 2x 3
7.f (x) sin(3x 1) cos5x
9. f (x) x x 1
Задание 5. Найти дифференциал:
1.d arccos ex
3.d x 2x x
5.d ln 1 2sin x 2sin x 1
7.d xx2
|
|
x2 1 |
|
||
9. |
d arctg |
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
6.f (x) log3 (x 5)
8.f (x) 75x
10.f (x) e3x 1
2.d e x ln x
4.d 2x3 (3ln x 2)
|
|
|
ln x |
|||
6. |
d arctg |
|
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
ex3 |
|
|
|
|
8. |
d |
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ln ex |
|
|
arcsin e x |
||
10. |
|
e2 x 1 |
Задание 6. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
1.а)
2.а)
3.а)
4.а)
5.а)
lim 1 x tg |
x |
||||
x 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
lim x sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
x |
|
|
|
lim |
x arctgx |
|
|||
|
|||||
x 0 |
x3 |
|
|
|
|
lim |
x cos x sin x |
|||
x3 |
||||
x 0 |
|
|||
lim |
1 cos ax |
|
||
1 cosbx |
||||
x 0 |
|
|
1 x |
|
б) lim ln |
|
|
|
|
|||
x 0 |
|
x |
1
б) lim ln x e x
x 0
1
б) lim ln 2x ln x
x
1
б) lim ctg2x ln x
x 0
1
б) lim ln x x
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
а) lim 1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim 1 sin |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
а) lim |
1 cos x2 |
|
|
б) lim |
1 |
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
sin x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
а) lim 1 e2 x |
|
ctgx |
б) lim |
sin x |
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
а) lim |
|
|
e2 x 1 |
|
|
|
|
б) lim x 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 x 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ln 1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) lim |
|
a |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
|
|
|
б) lim 1 x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задание 7. |
|
|
Провести |
полное исследование |
|
функции и построить |
||||||||||||||||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
f (x) |
x2 x 1 |
2. |
f (x) |
||||||
|
x 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
f (x) 3 (2 x)(x2 4x 1) |
4. |
f (x) |
|||||||
5. |
f (x) |
4 x3 |
|
6. |
f (x) |
|||||
|
x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
7. |
f (x) 3 (x 6)x2 |
8. |
f (x) |
|||||||
9. |
f (x) |
e3 x |
|
10. |
f (x) |
|||||
3 x |
||||||||||
|
|
|
|
e2( x 1)
2(x 1)
(4 x)ex 3
|
3ln |
x |
1 |
||
|
|
|
|||
x 3 |
|||||
|
4x |
|
|||
|
|
|
|||
(x 1)2 |
|
3(x 1)2 3(x 2)2
Задание 8. Вычислить неопределенные интегралы:
1.а)
г)
tg(3ln x 5) |
|
б) x6 |
|
|
|
|
в) (2 7x)sin 4xdx |
||||
dx |
|
2x7 3dx |
|||||||||
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4 9x)ln xdx |
д) |
|
25(x 3) |
е) |
dx |
||||||
|
dx |
|
|
||||||||
(x 4)2 (x 1) |
|||||||||||
cos4 2x |
2.а)
г)
e3 5ln x |
|
б) x7 |
|
|
|
|
в) (5 3x)e x/3dx |
||||||
dx |
|
8 3x8 dx |
|||||||||||
5x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
7)ln xdx |
д) |
|
27(1 x) |
е) |
cos3 x |
||||||
(4x |
|
|
dx |
|
dx |
||||||||
|
(x 2)2 (x 7) |
||||||||||||
|
sin4 x |
3. |
а) |
|
|
|
|
|
|
cos 4x |
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
9 sin2 4x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
г) |
|
|
|
|
ln x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
а) cos7xe5 3sin 7 xdx |
|||||||||||||||||||||||||
|
г) (5x4 |
3x2 )ln xdx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 tg x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
а) |
|
|
e |
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
г) ln(3 7x)dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
а) |
cos(3 4ln x) |
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|||
|
г) |
|
|
|
ln |
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 tg x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
а) |
|
|
e |
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
г) (3x2 |
2x)ln xdx |
||||||||||||||||||||||||
8. |
а) |
|
ctg(2 5tg x) |
dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
г) ln(3x 8)dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
а) |
|
|
|
|
|
|
sin 5x |
|
dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
9 cos2 5x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
г) |
|
ln x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
e3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
а) |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) (2x 5x4 )ln x dx
б)
д)
б)
д)
б)
д)
б)
д)
б)
д)
б)
д)
б)
д)
б)
д)
x9 4 5x10 dx
26x2dx
(x2 9)(x 2)
x5 6x7 4dx
|
16(x 4) |
(x 7)2 (x 5)dx |
|
x3 |
5 7x4 dx |
8(x2 5)
(x 1)2 (x 3)dx
x3 9 3x4 dx
7dx
(x 2)2 (x 5)
x5 2 7x6 dx
1 x
(x 1)2 x dx
x4 5 8x5 dx
x2 2
(x 1)2 (x 2)dx
x8 3 5x9 dx
52dx
(x2 1)(x 5)
x4 2x5 7 dx
25x 50
(x 3)2 (x 2) dx
в)
е)
в)
е)
в)
е)
в)
е)
в)
е)
в)
е)
в)
е)
в)
е)
(7x 3)e x/2dx
sin3 xcos xdx
(9x 4)cos 3x dx
dx
sin6 x
(2 8x)cos 4xdx
cos2 5xdx
(4 5x)e8xdx
ctg2 xdx
(4x 5)e 3xdx
sin3 x
cos4 x dx
(2x 1)cos3xdx
sin2 4xdx
(7x 6)ex/2dx
sin3 x cos3 x dx
(4 6x)e x/3dx
sin3 x
cos7 x dx
Задание 9. Вычислить определенные интегралы:
|
|
16 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
а) |
|
63 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
35x |
dx |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 |
10 15x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
3. |
а) |
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
а) |
|
35 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
64 |
10x 250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
9 |
|
5x2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
48 3 |
|
|
x 80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 3 x2 8 3 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
а) |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 18x2 3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
5 |
|
3 x |
|
|
||||||||||||||||||||||
10. а) 16 |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
б)
1
6
б)
1
5
б)
0
7
б)
0
7
б)
1
14
б)
1
4
б)
0
4
б)
0
3
б)
1
3
б)
0
75x dx
4 5x
3dx
x 12 4x
27xdx
49 3x
3x dx
4x 3
33dx
x4x 3
11 dx
2x 11 5x
75x dx
36 5x
24x dx
81 8x dx
2x 1 8x
6x dx
1 8x
в) π/4 x cos 2x dx
π/2
в) 18x cos3xdx
/2
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
в) |
|
|
2 |
xsin |
dx |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 9xsin 3x dx |
|||||||||
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/4 |
72 |
|
|
|
|
||||
в) |
|
|
xsin 3xdx |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
150xsin 5x dx |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
в) 50x cos5x dx
π/2
|
π |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
в) x cos |
dx |
|||||||||||
|
||||||||||||
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
в) |
|
2 |
x cos |
dx |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
0 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
в) |
|
|
|
xsin |
dx |
|||||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
|
0 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 10. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
|
|
|
|
|
|
|
x3dx |
|
|
1/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
16x |
4 |
1 |
|
|
3 |
|
1 4x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 x |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
4x 8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2/3 |
|
3 |
|
ln 2 3x |
|
|
||||||||||||
3. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3x |
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
/6 |
|
|
|
|
|
|
cos3x dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 |
2x 5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
1 sin 3x 5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
6. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
4x 5 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
16 x |
2 |
5 |
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16x4 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
x |
3 |
8 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
dx |
|
б) 0 |
||
|
||
2x 1 2 |
|
1 |
|
|
|
ln 3x 1 |
|
|||||||
б) |
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1/3 |
|
|
|
3x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 x4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
2 4x |
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ln 2 dx |
|||||
б) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1 x ln2 1 x |
||||||||||||
|
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 x 1 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|