Задачи по Физике

1

Министерство образования и науки Российской Федерации

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОБЩАЯ ФИЗИКА

Сборник контрольных заданий для студентов бакалавров

Красноярск

СФУ

2012

2

УДК 53(07) ББК 22.3я73

Составители: А.Е.Бурученко, И.А. Логинов, С. И. Мушарапова.

Механика. Молекулярная физика. Электростатика. Постоянный ток. Электромагнетизм. Оптика. Атомная и ядерная физика. Контрольные задания для студентов бакалавров / А. Е. Бурученко, И. А. Логинов, С. И. Мушарапова

– Красноярск: Сиб. федер. Ун-т, 2012. 110 с.

В контрольных заданиях изложен краткий теоретический материал, даны примеры решения задач, приведены варианты контрольных заданий. Предназначено для студентов инженерных специальностей:

Бакалавр – 022000, 280700, 190110, 190600, 240100, 270800, 230700

УДК 53(07) ББК 22.3я73

© Сибирский федеральный университет, 2012

3

ВВЕДЕНИЕ

Физика – фундаментальная база для теоретической подготовки инженеров, без овладения которой их успешная деятельность невозможна.

На всех этапах обучения большое значение имеет практическое применение теоретических знаний в процессе решения задач. Это способствует приобщению студентов к самостоятельной творческой работе, учит анализировать изучаемые явления, выделять главные факторы, отвлекаясь от случайных и несущественных деталей.

Задачи, приведенные в методических указаниях, соответствуют программе общего курса физики в техническом вузе и охватывают разделы «Механика», «Колебания и волны», «Молекулярная физика» и «Термодинамика», «Электростатика», «Постоянный ток», «Электромагнетизм», «Оптика», «Атомная и ядерная физика».

Вработе отсутствуют сведения, которые при необходимости могут быть найдены в учебных пособиях по курсу общей физики (см. библиографический список). Поэтому вначале помещен краткий перечень формул и законов, необходимых для решения задач.

Вприложении приведены основные справочные данные, дополняющие условия задач. Номера вариантов, которые должен выполнить студент, указывает преподаватель.

4

ЧАСТЬ 1

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ

					Кинематика
	Положение материальной точки в пространстве задаётся радиус-вектором r :
				r	i x jy kz ,
	где			– единичные векторы направлений (орты); x, y, z – координаты
		i ,	j, k

точки.

Кинематические уравнения движения (в координатной форме) таковы:

x f1 (t) ; y f 2 (t) ;

z f3 (t) ,

где t – время.

Средняя скорость –

< v >= r ,

t

– перемещение материальной точки за интервал времени t .

где r

s

Средняя путевая скорость – < v >=

t

,

где s

- путь, пройденный точкой за интервал времени t .

Мгновенная скорость –

dr

v

ivx

jvy kvz ,

dt

dx

dy

; vz

dz

где v x

; v y

–

проекции скорости

v на оси координат.

dt

dt

dt

Абсолютное значение скорости –

v

v2 v2 v2 .

x

y

z

dv

Ускорение –

a

i a x

ja y

ka z ,

dt

dv

x

a

dv y

dv

z

где a

x

;

y

; a

z

– проекции ускорения a на оси координат.

dt

dt

dt

Абсолютное значение ускорения –

a

a 2 a 2

a

2 .

x

y

z

При криволинейном

движении

ускорение

можно

представить

как сумму

нормальной a n

и тангенциальной a составляющих, см. рис 1

a a n

a

Абсолютное значение этих ускорений –

v 2

dv

а

n

; a

; a a 2 a 2 ,

R

dt

n

	где R – радиус кривизны в данной точке
Рис. 1.	траектории.

5

Кинематическое уравнение равнопеременного движения материальной точки вдоль оси x:

	x x 0	vt ,
где x0 - начальная координата; t – время.
При равномерном движении			= 0.
	v const;	a

Кинематическое уравнение равнопеременного движения (a=const) вдоль оси x :

x x 0	v0 t	at 2
	2

где v0 – начальная скорость; t – время.

Скорость точки при равномерном движении : v v0 at . Кинематическое уравнение вращательного движения: f (t) .

	Средняя угловая скорость –			,
			t

где - изменение угла поворота за интервал времени t .

			d
Мгновенная угловая скорость –				.
			dt
	d
Угловое ускорение –		.
	dt

Кинематическое уравнение равномерного вращения – 0 t , где 0 - угловое перемещение; t – время. При равномерном вращении

const и ε=0.

Частота вращения – n Nt , или n T1 ,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t; Т – период вращения (время одного полного оборота).

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε=const) :

0 0t t2 , 2

где 0 - начальная скорость; t – время.

Угловая скорость тела при равнопеременном вращении : 0 t .

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами:

s R (где – угол поворота тела) – длина пути, пройденного точкой по дуге

окружности радиусом R;
v R , v			R – линейная скорость точки;
a
		R , a	R – тангенциальное ускорение точки;
a	n	2 R – нормальное ускорение точки.

6

Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона) в векторной форме :

n

n

dp

Fi

Fi , или mа

,

dt

i l

i l

n

где Fi -

геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;

i l

m – масса;

а – ускорение;

p mv – импульс; n – число сил, действующих на

точку;

в координатной (скалярной) форме :

n

n

n

ma x Fxi ; ma y Fyi ; ma z Fzi ,

i 1

i 1

i 1

или

d

2

x

n

d

2

y

n

d

2

z

n

m

Fxi ; m

Fyi ; m

Fzi ,

dt 2

dt 2

i 1

i 1

dt 2

i 1

где под знаком суммы стоят проекции сил

Fi

на

соответствующие оси

координат.

Сила упругости – Fупр kx ,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины жесткости); x – абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия – F G m1m2 , r2

где G – гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих тел,

рассматриваемых как материальные точки; r – расстояние между ними. Сила трения скольжения – Fтр f N ,

где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления. Значения координат центра масс системы материальных точек –

x

mi x i

; y

mi yi

; z

mizi

,

с

mi

c

mi

c

mi

где mi – масса i - й точки; xi , yi , zi

– координаты точки.

Закон сохранения импульса –

n

n

pi const, или mi vi const ,

i l

i l

где n – число материальных точек или тел, входящих в систему. Работа, совершаемая постоянной силой, –

F r , или F r cos ,

7

где
	– угол между направлениями векторов силы F и перемещения r .

Работа, совершаемая переменной силой, –

A F(r)cos dr ,

L

причем интегрирование ведётся вдоль траектории, обозначаемой L.

Средняя мощность за интервал времени t –

N .t

Мгновенная мощность – N dAdt , или N Fv cos ,

где dA – работа, совершаемая за промежуток времени dt.

Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно) –

T	mv2	, или T	p2	.
2			2m

Соотношение потенциальной энергии тела и силы, действующей на него в данной точке поля, –

			dП		dП		dП
F gradП , или F i					j		k			,
				dx		dy
								dz
где j, i, k – единичные векторы (орты).				В	частном случае, когда поле сил

обладает сферической симметрией (например, гравитационное), –

F ddrП .

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины) –

П 12 kx 2 .

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1 и m2 , находящихся на некотором расстоянии друг от друга,-

П G m1 m2 . r

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, –

П mgh ,

где h – высота нахождения тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчёта потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии, что h<<R, где R – радиус Земли.

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде

T П const

8

Применив законы сохранения энергии и импульса в случае прямого центрального удара шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров

u m1v1 m2 v 2

m1 m2

и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:

u1 v1 m1 m2 2m2 v 2 , m1 m2

u 2 v 2 m2 m1 2m1v1 , m1 m 2

где v1 и v 2 – скорости шаров до удара; m1 и m2 – их массы.

Механика твёрдого тела

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела

	относительно неподвижной оси –
			Mdt d J ,
	где		– момент силы, действующей на тело в течение времени dt; J – момент
		M

инерции тела; – угловая скорость; J – момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение

записывается в виде
	M t J .
В случае постоянного момента инерции
	M J ,
где - угловое ускорение.
Момент силы F , действующей на тело, относительно оси вращения –
	M F ,
			–
где F – проекция силы F	на плоскость, перпендикулярную оси вращения;

плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). Момент инерции материальной точки –

J mr 2 ,

где m – масса точки; r – расстояние от оси вращения до точки. Момент инерции твёрдого тела –

n

J mi ri2 ,

i 1

где ri – расстояние от элемента массы mi до оси вращения. В интегральной форме это выглядит так :

J r 2 dm .

9

Моменты инерций некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл. 1.

				Таблица 1
Тело	Ось, относительно которой	Формула
	определяется момент инерции	момента
		инерции
Однородный тонкий	Проходит через центр тяжести	1
стержень массой m и	стержня перпендикулярно ему							2
		12 m
длиной	Проходит через конец стержня
	перпендикулярно ему			1		m 2
		3
Тонкое кольцо, обруч,	Проходит через центр кольца,
труба радиусом R и	обруча, трубы, маховика			mR2
массой m,	перпендикулярно плоскости
распределённой по	основаня
ободу
Круглый однородный	Проходит через центр диска
диск (цилиндр)	перпендикулярно его плоскости		1
радиусом R и массой m								2
			2 mR
Однородный шар	Проходит через центр шара
массой m и радиусом R			2		mR2
		5

Если тело однородно, т. е. его плотность ρ одинаково по всему объёму, то dm dV и I r 2 dV ,

где V – объём тела.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен

J J 0 ma 2 ,

где J 0 – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр

тяжести тела параллельно заданной оси; m – масса тела; a – расстояние между осями.

z

Закон сохранения момента импульса – Li const ,

i l

где Li - момент импульса тела под номером i, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел –

									,
				Jl l J 2 2 Jl		l ` J 2		2
где J1 , J 2 , 1 и		2		-	моменты инерции		и		угловые скорости тел до
			,
взаимодействия; J1	, J 2			1	и 2 - те же величины после него.

10

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется, –

J1 1 J 2 2 ,

где J1 и J 2 – начальный и конечный моменты инерции; 1 и 2 – начальная и

конечная угловые скорости тела.

Работа постоянного момента силы M, действующего на вращающееся тело, –

M ,

где φ – угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела – N M .

Кинетическая энергия вращающегося тела – T J 22 .

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, –

			T	m 2		J 2	,
		2			2
		m 2						J 2
	где		– кинетическая энергия поступательного движения тела;						–
		2						2

кинетическая энергия вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением

		J 2		J 2
	A	2		1	.
		2		2

Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения (см. табл. 2).

					Таблица 2
Поступательное	Вращательное	Поступательное			Вращательное
движение	движение	движение			движение
Основной закон динамики		Работа и мощность
F t mv2 mv1	M t J 2 J 1	Fs			M
F ma	M J	N Fv			N M
Закон сохранения		Кинетическая энергия
импульса	момента	T	1	mv2	T	1	J 2
	импульса
		2			2
n	n
mi vi const	J i i const
i l	i l