м3 вся

1

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

МАТЕМАТИКА

Часть 3

Интегралы

Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов 1 курса

направления «Строительство», бакалавриат

Красноярск

СФУ

2012

2

УДК 51(07)

ББК 22.1я73 М482

Мельникова Ирина Витальевна

М482 Математика. Ч.3: Интегралы: учебно-методическое пособие для самостоятельной работы студентов 1 –го курса направления «строительство» бакалавриат/сост. И.В.Мельникова.— Красноярск: Сиб. Федер ун-т ;.2012.- 69 с.

ISBN 978-5-7638-????-?

Аннотация. Пособие содержит варианты контрольных заданий для самостоятельной работы студентов и образец выполнения домашних зажаний Предназначено для самостоятельной работы студентов 1-го курса направления подготовки 2708000.62 «Строительство», бакалавриат

УДК 51(07)

ББК 22.1я73

© Сибирский федеральный университет, 2012

ISBN 978-5-7638-????-? (повтор)

Печатается по решению учебно-методического совета Инженерно-строительного института СФУ

3

Учебное издание

Мельникова Ирина Витальевна

МАТЕМАТИКА

Часть 3

Интегралы

Подготовлено к публикации редакционно-издательским отделом БИК СФУ

Подписано в печать (дата) 2012 г. Формат 60х84/16. (А5) Бумага офсетная. Печать плоская.

Усл. печ. л. 4,4 (количество страниц/16). Уч.-изд. л. ??. Тираж 100 экз. Заказ ????. (Дает РИО)

Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79

Тел/факс [phone]. E-mail [e-mail]

http://rio.sfu-kras.ru

Отпечатано Полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а

Тел/факс [phone] E-mail: [e-mail]; http://lib.sfu-kras.ru

4

Введение

Третья контрольная работа «Интегралы» включает разделы « Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл» и «Двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы».

В результате выполнения третьей работы студент должен:

•Знать:

Понятия первообразной, теорему о разности первообразных, понятие неопределенного интеграла.

Методы интегрирования функции одной переменной, Применение формулы Ньютона –Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Понятия двойного, криволинейного, поверхностного и тройного интегралов. Основные свойства и вычисление.

•Уметь:

Вычислять неопределенные и определенные интегралы от функций одной переменной, пользоваться таблицей интегралов, вычислять двойные, тройные , криволинейные и поверхностные интегралы от несложных функций

Владеть Навыками вычисления неопределенного и определенного интеграла,

методами сведения двойных, тройных , криволинейных и поверхностных интегралов к кратным.

Оформление индивидуального задания.

Всоответствии с номером по списку группы из каждого раздела выбирается задача. Решение задач оформляется грамотно, понятно, с подробными пояснениями. Приводятся все необходимые определения и теоремы. В тексте должны быть указаны точные ссылки на используемые утверждения.

Вприложении приведена таблица интегралов и формулы, необходимые для выполнения заданий.

5

ЗАДАНИЕ 1.

Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием.

1. а)	(2 x) 5 dx ;
г)		3xdx		;
		4x 2 3

2. а) 3 xdx ;

	г)		2xdx			;
			5	4x 2

3.а) 3 1 xdx ;

г)

xdx

;

5

3x 2

4.

а)

3 (1

x)2 dx ;

г)

3xdx

;

4x2

1

5.

а)

(1

x) 5 dx ;

г)

3xdx

;

3

4x 2

б)			sin(4			2x)dx ;
д)				ln(2x			1)dx		;
				2x		1
б)	sin(2				3x)dx ;
д)						dx				;
		(2x			1)		ln(2x 1)

б) sin(3			2x)dx ;
3		ln2 (1	x)dx
д)					;
		x	1

б)	sin(5			3x)dx ;
д)				dx					;
	(1		x)			ln(1	x)
б)		cos(2				3x)dx ;
д)				dx			;
	(1		x)	ln3 (1			x)

в) e3x 1dx ;

	е)	cos 7xdx
		sin 7 7x

в) e2 x 7 dx ;

е)

cos 2xdx

sin 3 2x

в) e3 6 x dx ;

е) sin 4 2x cos 2xdx

в) e2 3x dx ;

е)

sin 3xdx

cos4 3x

в) e2 x 1dx ;

е)

sin xdx

cos x

6. а)	(3 x) 3/2 dx ;
г)		2xdx			;
		8x 2	9

7. а) (5 3x) 5/2 dx ;

	г)		4xdx			;
			5x 2	1

8. а)	4 1			3xdx ;
г)			3xdx				;
	7			x 2

9.	а)	5 5				4xdx ;
					7xdx
	г)								;
		10				x 2
10.	а)	3 (1 4x)2 dx ;

3xdx

г) 2x2 8 ;

6

б)

cos(3

2x)dx ;

в)

e7 x 2 dx ;

3

sin xdx

д)

ln

(1

x)dx ;

е)

cos5 x

x

1

б)

sin(3

4x)dx ;

в)

e7 x 5 dx ;

sin 2xdx

5

ln

3

(1

x)dx

д)

;

е)

cos6 2x

x

1

б)

sin(3

4x)dx ;

в)

e5x 1dx ;

д)

dx

;

е)

sin 5xdx

cos3 / 2 5x

(x

2)

ln(x

2)

б)

cos(4x

3)dx ;

в)

e1 2 x dx ;

д)

7

ln2 (1

x)dx

;

е) sin

6 / 7

3x cos 3xdx

x

1

б)

cos(3

4x)dx;

в)

e2 8 x dx ;

д)

dx

;

е)

sin 6xdx

cos5 6x

(x 7)

ln

5

(x

7)

11. а) (1

4x) 4 dx ;

б)

cos(5

2x)dx ;

в) e1 7 x dx ;

2xdx

г)

;

д)

3

ln(3x

1)dx

;

е) sin 4 / 3 5x cos 5xdx

9

8x 2

3x

1

	7
12. а) (1 4x)3 dx ;	б) cos(7x 3)dx ;

г)

5xdx

;

д)

dx

;

2x2

7

(1 x) ln2 (1 x)

13.

а)

(1

3x) 7 dx ;

б)

sin(8x

3)dx ;

г)

3xdx

;

д)

dx

;

7 2x 2

(1 x) ln3 (1 x)

14.

а)

3 (1

5x)7 dx ;

б)

sin(5

3x)dx ;

4xdx

г)

;

д)

3 ln2 (8

x)dx

;

x 2

1

x

8

15.

а)

7 (5

8x)2 dx ;

б)

sin(3x

6)dx ;

г)

2xdx

;

д)

dx

;

8x2

7

(1 5x) ln(1 5x)

16.

а)

(3

4x) 4 dx ;

б)

cos(2

5x)dx ;

г)

3xdx

;

д)

dx

;

5 9x 2

(2 3x) ln3 (2 3x)

17.

а)

(2x

1) 3/4 dx ;

б)

cos(3x

5)dx ;

5xdx

ln

3

(1 2x)dx

г)

;

д)

;

4x 2

1

2x

1

в) e7 5 x dx ;

е)

sin 4xdx

cos7 4x

в) e2 x 2 dx ;

е)

sin 3xdx

cos3 3x

в) e1 8x dx ;

е) sin 4 5x cos 5xdx

в) e1 2 x dx ;

е)

sin 4xdx

cos7 4x

в) e3x 5 dx ;

е)

sin 5xdx

cos3 5x

в) e3x 11dx ;

е)

sin 6xdx

cos6 6x

8

18.

а)

4 7

xdx ;

б)

sin(5x

3)dx ;

г)

6xdx

;

д)

dx

;

2x2

7

(x 8) ln(x 8)

19.

а)

(5

2x) 5 dx ;

б)

cos(7 4x)dx ;

г)

5xdx

;

д)

dx

;

9 4x 2

(5 3x) ln3 (5 3x)

20.

а)

(1

2x) 3/7 dx ;

б)

cos(3x 7)dx;

г)

5xdx

;

д)

ln8 (2 5x)dx

;

x 2

1

5x

2

21.

а)

4 (2x

9)5 dx ;

б)

sin(8x

5)dx ;

г)

8xdx

;

д)

dx

;

3

2x 2

(2x 3)

ln(2x

3)

22.

а)

(x

9) 5/2 dx ;

б)

cos(5x

8)dx ;

г)

2xdx

;

д)

dx

;

2 3x 2

(1 3x) ln3 (1 3x)

23.

а)

(x

5) 3/8 dx ;

б)

cos(3x

7)dx;

3xdx

ln

3

(8 2x)dx

г)

;

д)

;

2x 2 9

2x

8

в) ex 7 dx ;

е)

cos 7xdx

sin 3 / 4 7x

в) e5 x 3 dx ;

sin 3xdx

е) cos9 3x

в)	e9 x 2 dx;
е)		sin 3xdx
				cos6 3x
в)	e12x 7 dx ;
е)			cos 2xdx
				sin 4 2x

в) e4 x 10 dx ;

е)

sin 5xdx

cos5 5x

в) e3x 6 dx ;

е)

sin xdx

cos2 x

			9
24. а)	(1 6x)7 dx ;		б) sin(5x 6)dx ;

г)

xdx

;

д)

dx

;

7

2x 2

(3x

2)

ln(3x

2)

25.

а)

3 6x

7dx ;

б)

sin(7x

1)dx ;

2xdx

ln

7

(1 2x)dx

г)

;

д)

;

1

3x 2

2x

1

26.

а)

5 (2

8x)2 dx ;

б)

sin(7x

3)dx ;

г)

4xdx

;

д)

dx

;

8x2

5

(3

2x)

ln(3

2x)

27. а) 3 (6

2x)2 dx ;

б)

cos(8x

4)dx;

7xdx

3

ln

2

(5 2x)dx

г)

;

д)

;

5x 2

3

2x

5

sin 8 7x cos 7xdx

28. а) 3(4 5x)5 dx ; б) sin(9x 1)dx ;

г)	2xdx	;	д)	dx			;
	6x2 2
				(6 x) ln(6 x)

29. а) (5 4x) 5 dx ;

б) cos(10x 3)dx ;

в) e3x 1dx ;

е)

в)

е) sin 7

в)

е)

в)

е)

в)

е)

в)

cos 2xdx

sin 5 2x

e4 8 x dx ;

2x cos 2xdx

e5 3x dx ;

cos 3xdx

sin 3 3x

e1 3x dx ;

e2 5 x dx ;

sin 5xdx

cos2 5x

e4 x 1dx ;

10

г)

8xdx

;

д)

dx

;

е)

sin 8xdx

1

5x 2

cos3 8x

(1 4x)

ln3 (1 4x)

30. а) (1

8x) 3/2 dx ;

б)

sin(9x

7)dx;

в) e5 x 2 dx ;

9xdx

ln

3

(1 3x)dx

г)

;

д)

;

е)

8x 2 1

3x

1

sin 8xdx

cos7 8x

ЗАДАНИЕ 2.

Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

1. а)

ln 2 xdx ;

б)

xarctgxdx

;

в)

(x2

x)exdx

1

x2

2. а)

ln xdx

;

б)

x arcsin xdx

;

в)

(x2

x

1)e xdx

x

1

x 2

3. а)

x ln

1

x

dx ;

б)

xarctgxdx;

в)

(x2

x

1)exdx

1

x

xctg 2 xdx

4. а)

ln(x

1 x2 )dx;

б)

xarcctgxdx ;

в)

5. а)

ln(x

4)dx;

б)

x arccos 2xdx

;

в)

x2e x dx

1

4x 2

xdx

x ln(x

1 x

2

)dx

6. а)

;

б) ;

arccos 2xdx

в)

sin

2

x

1 x

2

ln(cos x)dx

x2 cos 2xdx

7. а)

;

б)

1

x arccos xdx ;

в)

cos2 x