Тема 4. Случайные величины

План темы

1. Определение и классификация случайных величин.

2. Закон распределения случайной дискретной величины.

2.1. Табличный способ задания случайной дискретной величины.

2.2. Графический способ задания случайной дискретной величины.

3. Непрерывная случайная величина.

3.1. Определение интегральной функции распределения. Свойства

интегральной функции распределения.

3.2. Дифференциальная функция распределения или плотность

распределения вероятности. Свойства дифференциальной функции

распределения.

4. Действия над случайными величинами

4.1. Умножение случайной величины на число.

4.2. Возведение случайной величины в степень.

4.3. Функции одной случайной величины

4.4. Сумма, разность, произведение случайных величин.

1. Определение и классификация случайных величин

Рассматривая случайные эксперименты, нетрудно заметить, что их результат можно описать с помощью некоторой переменной величины, значения которой зависят от случайных обстоятельств.

Например,

Определение. Случайной величиной называется переменная величина, которая принимает свои значения в зависимости от исхода случайного эксперимента, причем каждому исходу соответствует единственное значение случайной величины.

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита X,Y,Z…, а их значения соответствующими малыми буквами с индексами.

Общая классификация возможных типов случайных величин может быть представлена с помощью следующей схемы.

Error: Reference source not foundОпределение. Если в качестве результата случайного эксперимента регистрируется одно число, то соответствующую величину называют одномерной или скалярной. Если результатом случайного эксперимента является регистрация определенного набора характеристик, то соответствующую случайную величину называют многомерной или векторной.

Определение. Одномерную случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно (образует последовательность).

Например,

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее значений бесконечно и полностью заполняет некоторый промежуток: конечный или бесконечный.

Это определение будет уточнено в п.3.3.

Например,

Рассмотрение случайных величин начнем с дискретной величины.

2. Закон распределения случайной дискретной величины

Для того чтобы задать случайную дискретную величину необходимо и достаточно определить:

1) все возможные значения этой случайной величины;

2) вероятность каждого из этих значений.

Рассмотрим случайную величину , для которой известны все возможные значенияОбозначим черезвероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение , т. е.

.

Определение. Законом распределения случайной дискретной величины называется взаимно однозначное соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения случайной величины дает полную ее характеристику, он позволяет решать все задачи, связанные с этой случайной величиной.

Закон распределения случайной дискретной величины может задаваться таблично, графически или аналитически.