Тема 6. Законы распределения случайных величин

План темы

1. Биномиальное распределение.

2. Закон распределения Пуассона.

3. Равномерное распределение.

4. Показательное (экспоненциальное) распределение.

5. Нормальный закон распределения.

В этой теме мы изучим некоторые конкретные случайные величины, часто используемые в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях.

1. Биномиальное распределение

Случайная величина с биномиальным законом распределения возникает в схеме Бернулли. Пусть проводится серия независимых испытаний, причем каждое испытание имеет два исхода: «событиепоявилось» или «событиене появилось». Вероятность появления событияв каждом отдельном испытании равна.

Определение. Дискретная случайная величина , возможными значениями которой являются частоты появления событиявнезависимых испытаниях, а вероятность соответствующих значений определяются по формуле Бернулли

называется биномиальной случайной величиной с параметрами и.

Таким образом, закон распределения биномиальной случайной величины можно записать в виде таблицы 1.

Таблица 1.

	0	1	…
			…

Свойства биномиального закона распределения

Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений биномиальной случайной величины равна единице, т.е.

.

Доказательство.

Из этого свойства вытекает название биномиального распределения вероятностей.

Свойство 2. Если частота возрастает то нуля до некоторого значения частоты, то вероятности соответствующих значений также возрастают до величины, а при дальнейшем возрастании частотывероятности соответствующих значений убывают.

Доказательство. Выведем условия, при которых вероятности с ростомвозрастают, т.е. удовлетворяют неравенству

или . (1)

Так как

; ,

то из равенства (1) получаем

,

откуда находим

(2)

Следовательно, при возрастании от нуля довероятности соответствующих значений монотонно возрастают.

Аналогично выводим условие, при котором вероятности соответствующих значений с ростомубывают.

Если

,

то

. (3)

Так как

,

то

,

откуда находим

. (4)

Следовательно, при возрастании отдовероятности соответствующих значений монотонно убывают.

Таким образом, существует частота, которой соответствует наибольшая вероятность.

Определение. Частота, которой соответствует наибольшая вероятность при заданных параметрах иназываетсянаивероятнейшей частотой.

Наивероятнейшую частоту обычно обозначают .

Свойство 3. Наивероятнейшая частота определяется из двойного неравенства

.

Доказательство. Из определения наивероятнейшей частоты получаем

и .

Согласно свойству 2, имеем

; (5)

. (6)

Объединив неравенства (5) и (6) получаем двойное неравенство для определения наивероятнейшей частоты

.

Если целое число, то наивероятнейшая частота принимает два значения:

или .

Если дробное число, то наивероятнейшая частота имеет единственное значение, которое равно целой части числа, т.е.

.

Из рассмотренных свойств биномиального закона распределения следует, что полигон распределения вероятностей биномиальной случайной величины имеет вид

дробное число

целое число

Свойство 4. Числовые характеристики биномиальной случайной величины вычисляются по формулам

,

,

.

Доказательство.

Следствие. Числовые характеристики относительной частоты вычисляются по формулам:

,

,

.

Доказательство.