фадеева

ОГЛАВЛЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
ЧАСТЬ I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
ГЛАВА 1. Элементы комбинаторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
§ 1. Основные правила комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
§ 2. Упорядоченные совокупности (последовательный выбор) . . . . . . . .	10
§ 3. Неупорядоченные совокупности (одновременный выбор) . . . . . . . .	12
§ 4. Разбиение множества на группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
ГЛАВА 2. Классическая вероятностная модель. Геометрическая вероятность 18
§ 1. Пространство элементарных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
§ 2. Событие и его вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	19
§ 3. Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
ГЛАВА 3. Основные формулы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	28
§ 1. Операции над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	28
§ 2. Условная вероятность и теорема умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	29
§ 3. Независимость событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
§ 4. Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
§ 5. Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
ГЛАВА 4. Повторные независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
§ 1. Испытания Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
§ 2. Наивероятнейшее число успехов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
§ 3. Приближенные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
§ 4. Полиномиальные испытания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
ЧАСТЬ II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	49
ГЛАВА 5. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51
§ 1. Случайная величина и законы ее распределения . . . . . . . . . . . . . . . . .	51
§ 2. Функция распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	53

3

§ 3. Примеры дискретных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 § 4. Дискретный случайный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин . . . . . . . . 57

ГЛАВА 6. Непрерывные случайные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины . . . . . 67 § 3. Примеры непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 § 4. Функции случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 § 5. Пара непрерывных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 § 6. Плотность суммы двух непрерывных случайных величин . . . . . . . . . 77

ГЛАВА 7. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема . . . . . . . 85 § 1. Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 § 2. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 § 3. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

РАЗДЕЛ II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ГЛАВА 1. Генеральная совокупность и выборочный метод. Графическое и табличное представление данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

ГЛАВА 2. Выборочные числовые характеристики и точечные оценки . . . . . . 113

ГЛАВА 3. Функции и распределения в математической статистике . . . . . . . 130 § 1. Бета и гамма-функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 § 2. Распределение хи-квадрат (χ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 § 3. Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 § 4. Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 § 5. Гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 § 6. Бета-распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 § 7. Квантили, процентные и критические точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

ГЛАВА 4. Методы нахождения оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 § 1. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 § 2. Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

А. Дискретные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Б. Непрерывные распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 В. Нерегулярные случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

ГЛАВА 5. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия . . . . . . . . . . . 172

ГЛАВА 6. Эффективность оценок. Неравенство Рао — Фреше — Крамера . 182

ГЛАВА 7. Доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 § 1. Точные доверительные интервалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 § 2. Асимптотические доверительные интервалы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4

ГЛАВА 8. Проверка статистических гипотез. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 § 1. Критерий отношения правдоподобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 § 2. Проверка гипотез для одной выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 § 3. Проверка гипотез для двух выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

А. Зависимые выборки: парные наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Б. Независимые выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

§ 4. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для нескольких выборок. Критерии Бартлетта и Кокрена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

§ 5. Критерии согласия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

А. Критерий согласия Пирсона (хи-квадрат) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Б. Критерий согласия Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

ГЛАВА 9. Элементы корреляционного анализа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

ГЛАВА 10. Элементы дисперсионного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

ГЛАВА 11. Элементы анализа временных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

ПРИЛОЖЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Приложение 1. Примеры вариантов контрольных
и экзаменационных работ по теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	275
Приложение 2. Примеры вариантов контрольных
и экзаменационных работ по математической
статистике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	293
Приложение 3. Таблицы математической статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . .	307
Приложение 4. Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	316
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	335

Предисловие

Курс теории вероятностей и математической статистики входит в цикл фундаментальных дисциплин, изучение которых является обязательным для студентов экономических факультетов государственных университетов.

Настоящий сборник задач является учебным пособием для практических занятий по дисциплинам «Теория вероятностей» и «Математическая статистика» для студентов экономических факультетов университетов и вузов.

Цель пособия — помочь изучающим теорию вероятностей и математическую статистику в приобретении навыков при решении различных задач этого курса.

Задачник содержит более 700 задач и примеров. Весь материал разбит на 11 глав, задачи снабжены ответами. Каждая глава задачника имеет введение, в котором приводятся краткие теоретические сведения и формулы теории вероятностей или математической статистики, необходимые для решения задач данной главы. Кроме того, каждая глава содержит достаточное количество примеров типовых задач, подробно рассматриваются алгоритмы их решений. Математический аппарат, используемый при решении задач, соответствует программе обычных курсов математического анализа, линейной алгебры и математического программирования для экономических факультетов университетов.

Среди задач, включенных в пособие, есть как предназначенные для простого приобретения навыков применения готовых формул

итеорем, так и более сложные задачи, решение которых требует комплексных знаний курса. Поскольку большое значение приобретает усиление связи преподавания математики с чтением курса экономических дисциплин, в большинстве задач данного пособия содержится конкретный экономический материал. Задачи, предлагаемые для самостоятельного решения, дают возможность студенту овладеть основными методами обработки и анализа статистической информации, получить навыки построения вероятностно-статистических моделей, научиться пользоваться статистическими пакетами прикладных программ для проведения необходимых вычислений, а также интерпретировать результаты статистического анализа.

Впособии использованы как задачи, составленные авторами, так

изадачи, заимствованные из отечественных источников. Для удобства пользования в конце книги помещены таблицы, необходимые при решении задач, а также примеры вариантов контрольных и экзаменационных работ, тестов и заданий.

Пособие предназначено в первую очередь для студентов экономических факультетов университетов. Вместе с тем оно может быть полезно и широкому кругу лиц, использующих в своей деятельности теорию вероятностей и математическую статистику.

ГЛАВА 1

Элементы комбинаторного анализа

Э

Одной из основных задач комбинаторики является подсчет числа элементов конечных множеств, заданных каким-либо дескриптивным условием. Рассмотрим типовые ситуации.

§ 1. Основные правила комбинаторики

Пусть имеется k групп А1, А2, ..., Аk, причем i-я группа содержит ni элементов. Тогда справедливы следующие правила.

А. Правило умножения (основная теорема комбинаторики). Общее число N способов, которыми можно получить упорядоченную совокупность (a1, a2, ..., ak), где ai Ai (т.е. выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке), равно

N= n1 n2 ... nk .

Б.Правило сложения. Если один элемент из группы Ai можно выбрать ni способами и при этом любые две группы Ai и Aj

не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из A1, или из A2, ..., или из Ak можно осуществить N = n1 + n2 + ... + nk

способами.

Задача 1. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов такого выбора?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем — любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. n1 = 30, n2 = 29, n3 = 28. Согласно правилу умножения общее число N способов выбора старосты, его заместителя и профорга равно

N = n1 × n2 × n3 = 30 × 29 × 28 = 24360.

9

Раздел 1. Теория вероятностей

Задача 2. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Решение. Первое письмо имеет n1=2 альтернативы — либо его относит к адресату первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть n2 = 2 альтернативы и т.д., т.е. n1 = n2 =…= n10 = = 2. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределений писем между двумя почтальонами равно

N = n n ...n = 2 × 2 ×...× 2 = 210 = 1024 .

1 2 10

10 ȸ¿

Задача 3. В ящике 100 деталей, из них 30 — 1-го сорта, 50 — 2-го, остальные — 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Решение. Деталь 1-го сорта может быть извлечена n1=30 способами, 2-го сорта — n2 = 50 способами. По правилу суммы существует N = n1 + n2 = 30 + 50 = 80 способов извлечения одной детали 1-го или 2-го сорта.

§ 2. Упорядоченные совокупности (последовательный выбор)

Пусть имеется некоторая конечная совокупность элементов {a1, a2, ..., an}, называемая генеральной совокупностью, n — объем этой совокупности. Допустим, что эксперимент состоит в том, что из генеральной совокупности последовательно выбирают k элементов и располагают их в порядке выбора. Возможны две ситуации.

А. Размещения без повторений. Отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется размещением k элементов из n, или последовательным выбором без возвращения. Итак,

размещения — это упорядоченные совокупности k элементов из n, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

П Р И М Е Р . Пусть имеется множество {a, b, c} из трех элементов. Тогда все размещения двух элементов из трех таковы: ab, ba, ac, ca, bc, cb.

Требуется найти число различных способов, которыми можно произвести последовательную выборку без возвраще-

10

Глава 1. Элементы комбинаторного анализа

ния k элементов из генеральной совокупности объема n. Очевидно, что первый элемент можно выбрать n1 = n способами, и так как отобранный элемент не возвращается в генеральную совокупность, то следующий элемент выбирается из совокупности, объем которой на один элемент меньше, т. е. n2 = n — 1, и т.д. так, что nk = n — (k — 1). Тогда по правилу умножения общее число N способов равно N = n (n — 1)...(n — (k — 1)). Такое число

обозначается Ak , т.е. Ak = n(n — 1) (n — 2)...(n — (k + 1)), или
n	n
	Ak =		n!	.
	n	(n	−k )!

В частном случае, когда выбираются все элементы генеральной совокупности, т.е. когда k = n, размещения называются перестановками.

Перестановки — это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Число всех перестановок множества из n элементов, обозначаемое Pn , вычисляется по формуле

Pn = n!

П Р И М Е Р . Все перестановки множества {a, b, c} из трех элементов устроены так: abc, bac, cba, acb, cab, bca и P3 = 3! = 6.

Б. Размещения с повторениями. Если каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность, то такой выбор называется размещением с повторениями (или последовательным выбором с возвращением). Поскольку на каждом шаге выборка производится из генеральной совокупнос-

ти объема n, общее число kn различных способов, какими можно произвести выборку с возвращением k элементов из генеральной

k

совокупности объема n, равно n = nk .

П Р И М Е Р . Все размещения с повторениями двух элементов из множества с тремя элементами {a, b, c} таковы:

aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc.

Задача 4. В расписание одного дня включены 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

11

Раздел 1. Теория вероятностей

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и их порядком следования, поэтому

N = A5	=	11!	= 11! = 7 ×8× 9 ×10 ×11 = 55 440.
11		(11 −5)!	6!

Задача 5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Поскольку каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, одни и те же фильмы могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5:

N= A105 = 105 = 100 000.

§3. Неупорядоченные совокупности (одновременный выбор)

А. Сочетания без повторений. Если комбинации из n элементов по k отличаются только составом элементов, то их рассматривают как одновременный неупорядоченный выбор k элементов из генеральной совокупности объема n и называют сочетаниями из n элементов по k. Иными словами,

сочетания — это неупорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов. ПРИМЕР. Все сочетания без повторений двух элементов из

множества {a, b, c} таковы:

{a,b},{a,c},{b,c}.

Формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по k имеет вид

	©nk =	n!	.
		(n −k )!k !

Свойства числа сочетаний можно представить следующим образом:

12

Глава 1. Элементы комбинаторного анализа

Cnk =Cnn−k ;

Cnk +Cnk +1 =Cnk++11;

Cn0 =Cnn = 1;

Cn0 +Cn1 +Cn2 + ... +C

nn = 2n.

Б. Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях из n элементов по k некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из n элементов по k, и число сочетаний с повторениями из n элементов по k равно

© kn =C k+ −1. n k

ПРИМЕР. Все сочетания с повторениями двух элементов из множества {a, b, c}:

{a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c}.

Задача 6. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно

C 2	=	16!	= 15×16 = 120.
16	14!2!		1× 2

Задача 7. В условиях задачи 5 определить, сколько вариантов распределения призов существует, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле

		105 =C 5	=C 5	= 10 ×11×12 ×13×14 = 2002.
	C
		10+5−1	14	1× 2 ×3× 4 ×5

Задача 8. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно P7 = 7! = 1× 2 ×3× 4 ×5× 6 × 7 = 5040.

13

N n (n1, n2 , ..., nk ) =

Раздел 1. Теория вероятностей

§ 4. Разбиение множества на группы

Если множество из n различных элементов разбивается на k групп так, что в первую группу попадают n1 элементов, во вторую — n2 элементов, в k-ю группу — nk элементов, причем n1 + n2 + + ... + nk = n, то число таких разбиений равно

n! . n1 !n2 !...nk !

Задача 9. Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы по 6, 9 и 10 человек в каждой группе?

Решение. Здесь n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Согласно приведенной выше формуле, число таких разбиений равно

= 25!

N 25 (6,9,10) 6!9!10! .

Задача 10. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 — по 2 раза?

Решение. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, при этом фактически все семь мест в этом числе делятся на три группы: на одни места ставится цифра 4, на другие — цифра 5, а на третьи места — цифра 6. Таким образом, в нашем случае множество состоит из 7 элементов (n = 7), причем n1 = 3, n2 = 2, n3 = 2, и, следовательно, в силу приведенной выше формулы число таких чисел равно

	N 7 (3;2;2) =	7!	= 210.
		3!2!2!

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В ящике 5 красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать три яблока из ящика?

Задача 2. Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Задача 3. Сколькими способами можно вытащить две карты пиковой масти из колоды в 36 карт?

Задача 4. Десять человек при встрече обмениваются рукопожатиями. Сколько всего рукопожатий будет сделано?

Задача 5. Доступ к файлу открывается только в случае, если введен правильный пароль — определенный трехзначный номер

14