НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА

М.Л. Тай

Математика

Учебное пособие

Часть 2

Нижний Новгород

2003

Тай М.Л.

Математика: Учебное пособие. Часть 2. – Н.Новгород: НИМБ, 2003. – 108 с.

Данное учебное пособие включает разделы: «Линейная алгебра», «Системы линейных алгебраических уравнений» и «Элементы аналитической геометрии». Оно предназначено для студентов гуманитариев и содержит только наиболее важные математические понятия. В первом разделе весьма подробно дан анализ понятий и возможности их использования, хотя все доказательства опущены. Приведены примеры решения типовых задач. Предложены задачи для самостоятельного решения. Постоянно подчеркивается необходимость проверки получаемых результатов, стремление понять их роль в конкретных ситуациях. В последнем разделе содержатся только необходимые сведения, примеры и задачи.

Все источники, использованные при подготовке пособия, указаны в списке литературы.

©М.Л. Тай, 2003

©Нижегородский институт менеджмента и бизнеса, 2003

2

1.РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1.1.Пояснительная записка

Цель курса – познакомить студентов с основными представлениями, понятиями и методами современной математики. Опираясь на знания, полученные студентами в средней школе и средних специальных учебных заведениях, студентам показываются состояния и возможности математического аппарата.

Курс предназначен для развития у студентов мышления, прежде всего абстрактного, способности к абстрагированию и умения работать с абстрактными объектами. Основное внимание обращается на умение: индивидуально анализировать задачи и вопросы, понимать их решения, логику математических подходов, терминологию рассуждений. В процессе изучения математики может быть развито логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие как сила, гибкость, конструктивность, критичность. Эти качества сами по себе не связаны с каким-либо математическим содержанием и математикой вообще, но обучение математике вносит в их формирование специфический компонент, который наиболее эффективно может быть реализован именно при изучении этой дисциплины.

Курс «Математика» изучается всеми студентами 1 и 2 курса в течение 4-х семестров. Знания, полученные студентами при изучении данного курса,

ивыработанные у них навыки самостоятельной работы с математическими методами и понятиями необходимы для усвоения таких дисциплин, как: «Математика в экономике», «Статистика», «Концепция современного естествознания», «Менеджмент», «Математические и статистические методы в психологии». Они используются также в курсе «Информатика». Эти знания также являются элементом общей культуры и интеллектуального уровня специалиста.

Изложение курса и методы контроля работы студентов строятся так, чтобы каждый студент, независимо от его предшествующей подготовки, смог поверить в свои собственные способности и возможности понять и почувствовать основы современной математики, научиться элементарным понятиям

иметодам математического анализа, дифференциальных уравнений и их приложений, линейной алгебры, аналитической геометрии, теории вероятностей. Проявление собственной индивидуальности каждым студентом поощряется с целью адаптации будущих специалистов к обсуждению, общению и четкому выражению мыслей, необходимых для потенциально перспективной работы.

3

					1.2. Тематический план							Таблица 1.1
					Очное обучение				Заочное обучение
Разделы и темы курса			Трудо-	Всего ауди-	Лек-	Практи-	Самостоя-	Всего ау-	Лек	Практи-		Самостоя-
			емкость	торных ча-	ции	ческие	тельная рабо-	диторных	ции	ческие		тельная рабо-
				сов		занятия	та студентов	часов		занятия		та студентов
Раздел	10. Линейная ал-		116	58	24	34	58	14	10	4		102
гебра
1. Матрицы, действия над			20	10	4	6	10	2	2	-		18
ними, их применение
2. Определители, их вы-			20	10	4	6	10	2	1	1		18
числение, свойства, ис-
пользование
3. Линейная зависимость и			28	14	6	8	14	2	1	1		26
независимость, ранг мат-
рицы и его вычисление
4. Преобразование и реше-			20	10	4	6	10	4	4	-		16
ние систем линейных ал-
гебраических уравнений
5. Решение произвольных			28	14	6	8	14	4	2	2		24
систем	линейных алгеб-
раических уравнений
Раздел 11.		Аналитическая	52	26	10	16	26	6	4	2		46
геометрия
6. Вектора, действия над
ними,	использование для		20	10	4	6	10	4	2	2		16
решения		геометрических
задач
7. Прямые на плоскости,
плоскости и прямые в про-			32	16	6	10	16	2	2	-		30
странстве, связь с линей-
ной алгеброй
Итого:			168	84	34	50	84	20	14	6		148

1.3. Содержание программы (основные дидактические единицы)

Часть 2 Раздел 10. Линейная алгебра

Тема 36. Матрицы и действия над ними. Понятие матрицы. Классифика-

ция матриц. Транспонирование матриц. Умножение матрицы на число. Сложение матриц. Умножение матриц. Свойства этих действий над матрицами.

Тема 37. Обратная матрица и элементарные преобразования. Обратная матрица. Свойства обратных матриц. Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Тема 38. Определители, свойства и их вычисление. Понятие определи-

теля квадратной матрицы. Определитель матрицы первого и второго порядка. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Определитель квадратной матрицы произвольного порядка. Свойство определителей. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Использование определителей для отыскания обратной матрицы.

Тема 39. Связь определителей с системой линейных алгебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Матричные уравнения. Их решение с помощью обратной матрицы.

Тема 40. Понятия линейной комбинации и независимости. Линейная комбинация строк (столбцов) матрицы. Понятие линейной зависимости и независимости строк (столбцов) матрицы. Проверка линейной зависимости или независимости строк (столбцов) матрицы.

Тема 41. Ранг матрицы и его вычисление. Использование ранга матри-

цы. Основная теорема о ранге матрицы.

Тема 42. Эквивалентные системы и элементарные преобразования.

Матрица коэффициентов при неизвестных и расширенная матрица. Вектор правых частей системы. Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных и расширенной матрицы. Эквивалентные системы линейных алгебраических уравнений. Связь элементарных преобразований уравнений системы с элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы.

Тема 43. Понятие линейного пространства. Арифметические векторы и операции над ними. Арифметическое пространство как частный случай линейного пространства. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис и размерность линейного пространства, координаты вектора в данном базисе.

Тема 44. Произвольные системы линейных алгебраических уравнений.

Ранг произвольной системы векторов. Нахождение базисных векторов в данной системе векторов. Система из k линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Основная терминология: решение системы, совместная и несовместная система, определенная и неопределенная система, эквивалентные системы.

7

Тема 45. Критерий совместности и решение неоднородных систем ал-

гебраических уравнений. Критерий совместности и несовместности системы k линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Критерий определенности и неопределенности системы k линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Правило Крамера. Однородные и неоднородные системы. Теорема о решениях однородной системы уравнений. Частное и общее решение неоднородной системы. Свойства решений неоднородной системы. Структура общего решения произвольной системы линейных алгебраических уравнений. Базисные решения системы неоднородных уравнений и фундаментальная система решений для системы однородных уравнений.

Тема 46. Матрица как оператор и геометрическая интерпретация системы линейных уравнений. Преобразование координат при переходе к новому базису. Характеристическое уравнение матрицы.

Раздел 11. Аналитической геометрия

Тема 47. Действия над векторами и их использование для решения геометрических задач. Базис множества векторов на прямой, на плоскости и в пространстве. Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе i, j, k. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов: определения, свойства, выражение произведения результатов через координаты векторов.

Тема 48. Прямые на плоскости и алгебраический критерий их взаимного расположения. Общее уравнение прямой. Анализ неполного уравнения прямой, разные виды уравнения прямой. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях прямой. Нормаль к прямой. Алгебраический критерий расположения прямых на плоскости (с помощью анализа рангов соответствующих матриц).

Тема 49. Иллюстрация линейных уравнений и неравенств на плоскости.

Теорема о делении прямой плоскости на две полуплоскости. Геометрическая иллюстрация решений систем линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости. Анализ неполных уравнений плоскости в пространстве.

Тема 50. Прямые в пространстве, их взаимное расположение. Задание прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. Общее и каноническое уравнения в пространстве. Геометрический смысл параметров в общем и каноническом уравнениях прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные, совпадающие прямые. Алгебраические критерии взаимного расположения прямых в пространстве (с помощью анализа рангов матриц, составленных из коэффициентов уравнений прямых).

6