НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА

Ю.М. Урман

Математика

Учебное пособие

Часть 1

Нижний Новгород

2003

1

Урман Ю.М.

Математика: Учебное пособие. – Н.Новгород: НИМБ, 2003. – 92 с.

Данное учебное пособие включает в себя следующие разделы: «Дифференциальные исчисления», «Неопределенный интеграл», «Определенный интеграл и его приложения», «Обыкновенные дифференциальные уравнения». В него включены типовые задачи и даются методы их решения. Каждой главе предшествует краткое введение, состоящее из определений и основных математических понятий данного раздела. По каждой теме предлагаются задачи для самостоятельного решения. Примеры решений обозначены значком ∆.

При написании учебного пособия использовались математические приемы и задачи из книг, представленных в разделе «Литература».

©Урман Ю.М., 2003

©Нижегородский институт менеджмента и бизнеса, 2003

2

1.Рабочая программа

1.1.Пояснительная записка

Цель курса – познакомить студентов с основными представлениями, понятиями и методами современной математики. Опираясь на знания, полученные студентами в средней школе и средних специальных учебных заведениях, студентам показывается состояния и возможности математического аппарата в действительности.

Курс предназначен для развития у студентов мышления, прежде всего абстрактного, способности к абстрагированию и умения работать с абстрактными объектами. Основное внимание обращается на умение: индивидуально анализировать задачи и вопросы, понимать их решения, логику математических подходов, терминологию рассуждений. В процессе изучения математики может быть развито логическое (дедуктивное) мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие как сила, гибкость, конструктивность, критичность. Эти качества сами по себе не связаны с каким-либо математическим содержанием и математикой вообще, но обучение математике вносит в их формирование специфический компонент, который наиболее эффективно может быть реализован именно при изучении этой дисциплины.

Курс «Математика» изучается всеми студентами 1 и 2 курса в течение 4-х семестров. Знания, полученные студентам при изучении данного курса, и выработанные у них навыки самостоятельной работы с математическими методами и понятиями необходимыми для усвоения таких дисциплин как: «Математика в экономике», «Статистика», «Концепция современного естествознания», «Менеджмент», «Математические и статистические методы в психологии». Они используются также в курсе «Информатика». Эти знания также являются элементом общей культуры и интеллектуального уровня специалиста.

Изложение курса и методы контроля работы студентов строятся так, чтобы каждый студент, независимо от его предшествующей подготовки, смог поверить в свои собственные способности и возможности понять и почувствовать основы современной математики, научиться элементарным понятиям и методам математического анализа, дифференциальных уравнений и их приложений, линейной алгебры, аналитической геометрии, теории вероятностей. Проявление собственной индивидуальности каждым студентом поощряется с целью адаптации будущих специалистов к обсуждению, общению и четкому выражению мыслей, необходимых для потенциально перспективной работы.

3

												Таблица 1.1
				1.2. Тематический план
					Очное обучение					Заочное обучение
		Трудо-
	Разделы и темы курса		Всего ча-		Лек	Практи-		Самостоя-	Всего ча-	Лек	Прак-	Самостоя-
		емкость	сов ауди-			ческие		тельная рабо-	сов ауди-		тиче-	тельная рабо-
			торных		ции	занятия		та студентов	торных	ции	ские	та студентов
											занятия
1.	Введение в математиче-	20	10		4	6		10	2	2	0	18
	ский анализ
2.	Функция	49	24		10	14		25	6	4	2	43
3.	Основы дифференциаль-	49	24		10	14		25	4	2	2	45
	ного исчисления
4.	Приложения производной	44	22		8	14		22	6	4	2	38
5.	Функции многих пере-	16	9		4	5		7	2	2	0	14
	менных
6.	Неопределенный интеграл	68	34		10	24		34	8	6	2	60
7.	Определенный интеграл	48	24		8	16		24	4	2	2	44
8.	Несобственные интегралы	28	14		6	8		14	2	2	0	26
	и ряды
9.	Элементы теории диффе-	52	26		8	18		26	6	4	2	46
	ренциальных уравнений
	Итого:	374	187		68	119		187	40	28	12	334

4

1.3. Содержание программы (основные дидактические единицы)

Раздел 1. Введение в математический анализ

Тема 1. Понятие множества и операции над множествами. Понятие множест-

ва. Пустое множество. Операции над множествами.

Тема 2. Числовые множества. Числовые множества и основные обозначения. Координатная ось. Геометрическое представление действительных чисел на координатной оси.

Тема 3. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.

Понятие модуля действительного числа. Свойства модуля. Окрестность действительного числа как простейшее множество чисел.

Раздел 2. Функция

Тема 4. Понятие функции. Определение функциональной зависимости. Числовые функции. Способы задания функций. Основные свойства функций: четность и нечетность, монотонность, ограниченность, периодичность.

Тема 5. Функции, их графики и действия над ними. Основные элементарные функции: линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Обратные функции. Сложные функции. Графики основных элементарных функций. Преобразования графиков функций.

Тема 6. Предел функции и его вычисление. Понятие предела функции в точке.

Понятие бесконечности. Понятие конечного и бесконечного предела. Предел функции в бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов. Основные правила вычисления предела функции в точке.

Тема 7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Типы неопределенно-

стей. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Понятие неопределенности. Типы неопределенностей. Раскрытие неопределенностей разных типов. Первый и второй замечательный пределы. Использование первого и второго замечательного пределов.

Тема 8. Непрерывность функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на отрезке и на интервале. Свойства непрерывности элементарных функций. Нарушение непрерывности. Точки разрыва функции и их классификация (устранимые точки разрыва и точки разрыва с конечным и бесконечными скачками).

Раздел 3. Основы дифференциального исчисления

Тема 9. Производная функции в точке. Приращение аргумента функции и значение зависимой переменой. Приращение непрерывных функций. Задачи приводящие к производным. Определение производной в точке. Геометрический смысл производной.

Тема 10. Свойства производных и привила их отыскания. Свойства производных в точке. Производные основных элементарных функций. Правила вычисления производных. Производная обратной функции. Производная сложной функции.

5

Тема 11. Понятие дифференциала. Понятие дифференциала и его связь с приращением функции при изменении ее аргумента. Инвариантность формы дифференциала. Связь производных и дифференциалов. Приближенное вычисление значения функций с использованием дифференциалов.

Тема 12. Производные высших порядков. Производные второго и высших по-

рядков. Вычисление производных высших порядков. Свойства производных высших порядков.

Раздел 4. Приложения производной

Тема 13. Правило Лопиталя. Формулы Тейлора, Маклорена. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей разного типа. Применение правила Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена. Представление функции с помощью ряда Тейлора. Применение формулы Тейлора для получения приближенных оценок значений функции.

Тема 14. Исследование функций и построение графиков с помощью производ-

ной. Нахождение интервалов в монотонности, точек экстремума, точек перегиба. Асимптоты графика функции. Схема исследования графика.

Раздел 5. Функции многих переменных

Тема 15. Функции нескольких независимых переменных. Понятие функции не-

скольких независимых переменных. Задачи, приводящие к функциям нескольких переменных. Способы задания функций нескольких независимых переменных. Понятия линий уровня. Предел функции в точке. Непрерывность функции.

Тема 16. Частные производные. Частные производные функций нескольких независимых переменных. Связь частных производных с возрастанием и убыванием функций нескольких независимых переменных. Смешанные частные производные. Полные дифференциалы функций нескольких независимых переменных.

Тема 17. Условия экстремума функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума функций нескольких независимых переменных. Достаточные условия экстремума функций нескольких независимых переменных.

Раздел 6. Неопределенный интеграл

Тема 18. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. Понятие первообразной от заданной функции. Простейшие примеры отыскания первообразной. Совокупность первообразных заданной функции как неопределенный интеграл.

Тема 19. Свойства неопределенного интеграла. Основные правила вычисления неопределенных интегралов. Проверка результатов интегрирования и ее роль. Табличные интегралы. Непосредственное отыскание интегралов с помощью табличных интегралов.

Тема 20. Метод замены переменных. Вычисление дифференциала при замене переменных. Неоднозначность выбора замены переменной при отыскании неопределенных интегралов.

6

Тема 21. Метод интегрирование по частям. Использование правила диффе-

ренцирования произведения двух функций при интегрировании. Вычисление вспомогательного интегралов и дифференциала. Произвол разделения подынтегрального выражения при интегрировании по частям.

Тема 22. Интегрирование дробно-рациональных функций. Дробно-рацио-

нальная функция. Понятие правильной дробно-рациональной функции. Элементарная дробно-рациональная функция. Разложение на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов.

Тема 23. Интегрирование некоторых видов иррациональных и тригонометри-

ческих функций. Выделение полного квадрата и замена переменной. Использование тригонометрических формул. Сведение к интегралам от рациональных функций.

Раздел 7. Определенный интеграл

Тема 24. Понятие определенного интеграла. Геометрические задачи, приводя-

щие к определенному интегралу. Понятие криволинейной трапеции. Предельный переход при вычислении площади криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции как определенный интеграл.

Тема 25. Свойства определенного интеграла.

Тема 26. Основная формула интегрального исчисления. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Тема 27. Методы вычисления определенных интегралов. Метод замены пере-

менных при вычислении определенных интегралов. Использование интегрирования по частям для вычисления определенных интегралов. Изменения пределов интегрирования и использование дифференциалов при вычислении определенных интегралов.

Тема 28. Применение определенных интегралов. Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление объема тела вращения.

Раздел 8. Несобственные интегралы и ряды

Тема 29. Несобственные интегралы. Понятие несобственного интеграла. Сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы.

Тема 30. Понятие ряда. Числовые ряды. Понятие остаточной суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости числовых рядов. Гармонический ряд. Достаточное условие сходимости числовых рядов. Действия с числовыми рядами. Суммирование сходящихся числовых рядов.

Тема 31. Степенные ряды. Понятие степенного ряда. Формула Тейлора и степенной ряд. Сходящиеся и расходящиеся степенные ряды. Признак сходимости степенных рядов. Понятие абсолютной сходимости степенного ряда. Применение степенного ряда.

7