Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теория вероятностей.pdf
Скачиваний:
87
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
2.13 Mб
Скачать

НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА

В.С. Ширманов, О.А. Шешенина, М.Л. Тай, С.В. Попова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Нижний Новгород

2006

Ширманов В.С., Шешенина О.А., Тай М.Л., Попова С.В.

Теория вероятностей: Учебное пособие. Н.Новгород: НИМБ, 2006. 95 с.

Учебное пособие предназначено для студентов 2 курса экономических вузов. Включает рабочую программу, конспект лекций, контроль знаний, глоссарий, литературу.

Тематика лекций соответствует Государственному образовательному стандарту по дисциплине «Теория вероятностей».

Утверждено на заседании кафедры информатики 29.03.06.

Зав. кафедрой д-р тех. наук, профессор Ширманов В.С.

Рецензент – д-р физ.-мат. наук, профессор ННГУ Ерофеев В.И.

©Ширманов В.С., Шешенина О.А., Тай М.Л., Попова С.В., 2006

©Нижегородский институт менеджмента и бизнеса, 2006

2

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА..........................................................................................................

4

2. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ...............................................................................................................

9

РАЗДЕЛI. СЛУЧАЙНЫЕСОБЫТИЯИИХВЕРОЯТНОСТИ ...............................................

9

Тема 1. Вводные замечания ...................................................................................................

9

Тема 2. Испытания и события..............................................................................................

10

Тема 3. Виды случайных событий.......................................................................................

11

Тема 4. Понятие вероятности...............................................................................................

14

Тема 5. Связь понятия вероятности с функциями.............................................................

16

РАЗДЕЛII. ВЫЧИСЛЕНИЕВЕРОЯТНОСТЕЙСОБЫТИЙ.................................................

17

Тема 6. Элементы комбинаторики......................................................................................

17

Тема 7. Примеры непосредственного вычисления вероятностей....................................

21

Тема 8. Сумма и произведение событий.............................................................................

23

Тема 9. Теорема сложения вероятностей несовместных событий...................................

24

Тема 10. Теорема умножения вероятностей.......................................................................

27

Тема 11. Теорема сложения вероятностей совместных событий.....................................

31

Тема 12. Формула полной вероятности и формула Бейеса...............................................

32

РАЗДЕЛIII. ПОВТОРЕНИЕИСПЫТАНИЙ...........................................................................

36

Тема 13. Схема Бернулли.....................................................................................................

36

Тема 14. Локальная теорема Лапласа..................................................................................

37

Тема 15. Интегральная теорема Лапласа............................................................................

38

РАЗДЕЛIV. ДИСКРЕТНЫЕСЛУЧАЙНЫЕВЕЛИЧИНЫ....................................................

41

Тема 16. Понятие случайной величины..............................................................................

41

Тема 17. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины............

42

Тема 18. Функция распределения дискретной случайной величины..............................

47

Тема 19. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины....

51

Тема 20. Биномиальное распределение..............................................................................

55

Тема 21. Предельные случаи биномиального распределения..........................................

58

Тема 22. Распределение Пуассона.......................................................................................

59

РАЗДЕЛV. НЕПРЕРЫВНЫЕСЛУЧАЙНЫЕВЕЛИЧИНЫ..................................................

63

Тема 23. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины......

63

Тема 24. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. 69

Тема 25. Равномерное распределение.................................................................................

74

Тема 26. Нормальное распределение..................................................................................

76

Тема 27. Свойства нормального распределения................................................................

80

3. КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ..............................................................................................................

83

3.1.Контрольные вопросы………………………………………………………………… 83

3.2.Программированные задания………………………………………………………… 84

4.

ГЛОССАРИЙ.............................................................................................................................

86

5.

ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................................

88

ПРИЛОЖЕНИЯ.............................................................................................................................

89

3

1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1.1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Предлагаемый курс «Теория вероятностей» представляет собой часть высшей математики. Он предназначен для того, чтобы познакомить студентов с основными понятиями теории вероятностей и показать, как используются математические представления и методы в прикладных задачах. По окончании курса студенты должны владеть базовыми знаниями для изучения математической статистики и ее приложений. Изложение материала представлено с учетом знаний по высшей математике.

В каждом разделе пособия приводятся основные определения, формулировки теорем и соответствующие формулы. Пособие содержит примеры, иллюстрирующие возможное применение теории вероятностей в планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и для многих других целей. Значительное внимание уделяется связям между различными разделами курса высшей математики.

Таблица 1.1

1.2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

(общая трудоемкость курса – 136 часов)

 

Тру-

 

Очная

 

Очно-заочная

 

Заочная

 

Наименования раздела,

форма обучения

форма обучения

форма обучения

доем-

темы

кость

Лек-

Практ.

СРС

Лек-

Практ.

СРС

Лек-

 

Практ.

СРС

 

 

ции

занят.

 

ции

знят.

 

ции

 

занят.

 

Раздел I. Случайные

20

5

5

10

1

1

18

1

 

-

19

события и их вероятности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 1. Вводные замечания

2

1

-

1

-

-

2

-

 

-

2

Тема 2. Испытания и события

4

1

1

2

-

-

4

-

 

-

4

Тема 3. Виды случайных

6

1

2

3

-

-

4

-

 

-

4

событий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Понятие вероятности

6

1

2

3

1

1

5

1

 

-

6

Тема 5. Связь понятия

2

1

-

1

-

-

3

-

 

-

3

вероятности с функциями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел II. Вычисление

44

11

11

22

2

2

40

2

 

-

42

вероятностей событий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 6. Элементы

8

2

2

4

-

-

6

-

 

-

6

комбинаторики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 7. Примеры непосред-

4

1

1

2

1

1

6

1

 

-

6

ственного вычисления

 

вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 8. Сумма и произведе-

4

1

1

2

1

1

4

1

 

-

4

ние событий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 9. Теорема сложения

4

1

1

2

-

-

6

-

 

-

6

вероятностей несовместных

 

событий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 10. Теорема умножения

8

2

2

4

-

-

6

-

 

-

6

вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 11. Теорема сложения

8

2

2

4

-

-

5

-

 

-

6

вероятностей совместных

 

событий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 12. Формула полной ве-

8

2

2

4

-

-

7

-

 

-

8

роятности и формула Бейеса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Продолжение таблицы 1.1

Наименования раздела,

Тру-

 

Очная

 

Очно-заочная

 

Заочная

 

форма обучения

форма обучения

форма обучения

доем-

темы

кость

Лек-

Практ.

СРС

Лек-

Практ.

СРС

Лек-

 

Практ.

СРС

 

 

ции

занят.

 

ции

знят.

 

ции

 

занят.

 

Раздел III. Повторение

16

4

4

8

1

1

14

1

 

-

15

испытаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 13. Схема Бернулли

8

2

2

4

1

1

5

1

 

-

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 14. Локальная теорема

4

1

1

2

-

-

5

-

 

-

5

Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 15. Интегральная

4

1

1

2

-

-

4

-

 

-

5

теорема Лапласа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел IV. Дискретные

32

8

8

16

2

2

28

2

 

-

30

случайные величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 16. Понятие случайной

4

1

1

2

-

-

2

-

 

-

3

величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 17. Закон распределе-

4

1

1

2

1

1

6

1

 

-

6

ния вероятностей дискретной

 

случайной величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 18. Функция распределе-

4

1

1

2

-

-

6

-

 

-

6

ния дискретной случайной

 

величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 19. Математическое

8

2

2

4

1

1

4

1

 

-

5

ожидание и дисперсия дис-

 

кретной случайной величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 20. Биномиальное

4

1

1

2

-

-

4

-

 

-

4

распределение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 21. Предельные случаи

4

1

1

2

-

-

2

-

 

-

2

биномиального распределения

 

Тема 22. Распределение

4

1

1

2

-

-

4

-

 

-

4

Пуассона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел V. Непрерывные

24

6

6

12

2

2

20

2

 

-

22

случайные величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 23. Функция и плот-

4

1

1

2

1

1

2

1

 

-

4

ность распределения непре-

 

рывной случайной величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 24. Математическое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ожидание и дисперсия

4

1

1

2

1

1

2

1

 

-

4

непрерывной случайной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

величины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 25. Равномерное

4

1

1

2

-

-

4

-

 

-

4

распределение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 26. Нормальное

8

2

2

4

-

-

6

-

 

-

6

распределение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 27. Свойства

4

1

1

2

-

-

4

-

 

-

4

нормального распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итого

136

34

34

68

8

8

120

8

 

-

128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формы контроля знаний

 

Контрольная работа,

Контрольная работа

Контрольная работа

 

 

 

зачет

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1.3. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ (ОСНОВНЫЕ ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ)

Раздел I. Случайные события и их вероятности

Тема 1. Вводные замечания

Математические методы описания объектов. Схема перебора.

Тема 2. Испытания и события

Испытание. Событие.

Тема 3. Виды случайных событий

Элементарное, составное, достоверное, невозможное, противоположное событие. Совместные, несовместные, равновозможные события. Полная группа.

Тема 4. Понятие вероятности

Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события. Вероятность равновозможных событий.

Тема 5. Связь понятия вероятности с функциями

Числовые функции, определенные на множестве элементарных событий.

Раздел II. Вычисление вероятностей событий

Тема 6. Элементы комбинаторики

Правила суммы и произведения способов выбора объектов. Перестановки. Размещения. Сочетания.

Тема 7. Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Примеры вычисления вероятностей с использованием правил комбинаторики.

Тема 8. Сумма и произведение событий

Сумма и произведение событий. Круги Эйлера.

Тема 9. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий. Сумма вероятностей нескольких попарно несовместных событий, образующих полную группу. Сумма вероятностей противоположных событий.

Тема 10. Теорема умножения вероятностей

Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Вероятность произведения двух событий. Вероятность произведения нескольких событий. Вероятность произведения независимых событий. Вычисление вероятности с использованием противоположного события.

Тема 11. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух событий. Вероятность суммы трех событий.

6

Тема 12. Формула полной вероятности и формула Бейеса

Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Обобщение приемов вычисление вероятностей.

Раздел III. Повторение испытаний

Тема 13. Схема Бернулли

Схема независимых испытаний, ее числовые характеристики. Формула Бернулли.

Тема 14. Локальная теорема Лапласа

Предельный случай схемы испытаний. Локальная теорема Лапласа. Функция Гаусса.

Тема 15. Интегральная теорема Лапласа

Предельный случай схемы испытаний. Интегральная теорема Лапласа. Функция Лапласа.

Раздел IV. Дискретные случайные величины

Тема 16. Понятие случайной величины

Случайная величина и ее описание. Обозначение случайных величин. Виды случайной величины: дискретная и непрерывная.

Тема 17. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Графический, аналитический и табличный варианты задания закона распределения дискретной случайной величины.

Тема 18. Функция распределения дискретной случайной величины

Функция распределения дискретной случайной величины, ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в интервал. Графическое изображение функции распределения.

Тема 19. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Значимость основных характеристик распределения.

Тема 20. Биномиальное распределение

Биномиальный закон распределения и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения.

Тема 21. Предельные случаи биномиального распределения

Варианты предельного перехода в биномиальном распределении.

Тема 22. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона.

7

Раздел V. Непрерывные случайные величины

Тема 23. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины

Плотность распределения и ее свойства. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения и наоборот.

Тема 24. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, его свойства. Дисперсия непрерывной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Тема 25. Равномерное распределение

Равномерное распределение и его свойства. Математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения.

Тема 26. Нормальное распределение

Нормальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения. Влияние параметров нормального распределения на его плотность. Стандартное распределение. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал. Предельный переход к нормальному распределению от биномиального распределения.

Тема 27. Свойства нормального распределения

Сравнение нормального и равномерного распределений. Правило «трех сигм». Сумма нормально распределенных нормальных величин. Центральная предельная теорема.

8