НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА И БИЗНЕСА

О.А. Шешенина

Математика

(Линейная алгебра)

Электронное учебное пособие

Часть 2

Нижний Новгород

2013

СОДЕРЖАНИЕ
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН	4
РАЗДЕЛ 1. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА.	5
ТЕМА 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.	5
ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.	12
ТЕМА 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.	22
ТЕМА 4. РАНГ МАТРИЦЫ.	32
РАЗДЕЛ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.	43
ТЕМА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. НАХОЖДЕНИЕ ЕДИНСТВЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ N ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ C N НЕИЗВЕСТНЫМИ. 43
ТЕМА 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ.	53
РАЗДЕЛ 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.	66
ТЕМА 7. МЕТОД КООРДИНАТ.	66
ТЕМА 8. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.	71
ТЕМА 9. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.	82
ТЕМА 10. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.	93
ТЕМА 11. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.	103
РАЗДЕЛ 4. МАТРИЧНЫЙ АНАЛИЗ.	111
ТЕМА 12. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.	111
ТЕМА 13. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.	117
ТЕМА 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.	119
ТЕМА 15. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.	130
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ	136
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ	139
ЛИТЕРАТУРА	141
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ	142
	2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. М.И. Калинин

Цель данного пособия – в ясной и доступной форме дать студентам базовые знания по математике в части линейной алгебры, необходимые для формирования общекультурных и профессиональных компетенций бакалавра-экономиста, бакалавра-менеджера, бакалавра по управлению персоналом.

Пособие состоит из 4 разделов и 15 тем, включающих в себя понятия, теоремы, примеры с подробными решениями, контрольные вопросы, задачи для самостоятельного решения, глоссарий, список литературы, ответы к задачам.

Данный материал необходим для усвоения таких дисциплин, как: «Математика в экономике», «Эконометрика», «Информационные системы в экономике» и других.

Учебное пособие «Математика (Линейная алгебра)» соответствует программам дисциплин «Математика» (направления подготовки: 080200 Менеджмент, 080400 Управление персоналом) и «Линейная алгебра» (направление подготовки: 080100 Экономика), удовлетворяющих требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования третьего поколения.

3

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

					Очное обучение					Заочное обучение
	Разделы		Трудое	Всего	Лекц	Практич		Самостоятел	Всего	Лек	Практич	Самостоятел
			мкость	аудиторны	ии	еские		ьная работа	аудиторн	ции	еские	ьная работа
				х часов		занятия		студентов	ых часов		занятия	студентов
Раздел 1. Матричная			64	32	12	20		32	6	2	4	58
алгебра.
Раздел	2.	Системы	40	20	8	12		20	4	2	2	36
линейных уравнений.
Раздел	3.	Элементы	40	20	8	12		20	4	2	2	36
аналитической
геометрии.
Раздел	4.	Матричный	36	18	8	10		18	4	2	2	32
анализ.
Итого:			180	90	36	54		90	18	8	10	162

4

Раздел 1. Матричная алгебра. Тема 1. Матрицы и действия над ними.

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов одинаковой длины. Числа, составляющие матрицу, называются элементами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами А,

В, С, Х, У,…, а их элементы соответствующими строчными буквами с двумя нижними индексами aij ,bik ,ckj , x1 j , yi1 . Первый

из индексов указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Число строк m и число столбцов n определяют размер матрицы - m ×n .

Произвольная матрица записывается в виде

a

a

a

11

12

1n

A

=

a21

a22

a2n

.

m×n

am2

am1

amn

4

− 4.5

Пример 1.1. Матрица

− 2

A = 1.2

имеет 3 строки и 2 столбца. Поэтому её размер 3 × 2 или A3×2 . Матрица A

1

состоит из элементов:

7

a11 = 4, a12 = −4.5,

a21 =1.2, a22 = −2, a31 = 7, a32 =1.

Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой, а из

одного столбца - матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Пример 1.2. (5

− 2

3)-матрица строка.

− 6

Пример 1.3.

- матрица-столбец.

4

Определение. Матрица называется прямоугольной, если число ее строк не равно числу столбцов.

Определение. Матрица называется квадратной n -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n .

5

Пример 1.4.		2	−3		-квадратная матрица второго порядка.
		4	1

Определение. Совокупность элементов квадратной матрицы n -го порядка a11 , a22 ,..., ann образует главную диагональ,

а a1n , a2n−1 ,..., an1 -побочную диагональ.

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если ее элементы, лежащие над или под главной

диагональю равны нулю.						− 5		0	0
		1	− 2
Пример 1.5.					;		4	3	0		-треугольные матрицы.
		0	3
							1	8	2

Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если ее элементы, лежащие вне главной диагонали,

равны нулю.						−1		0	0
	− 2		0
Пример 1.6.					;		0	3	0		-диагональные матрицы.
		0	3
							0	0	4

Определение. Квадратная матрица называется скалярной, если она является диагональной, причем ее элементы

главной диагонали равны.						−1		0	0
		4	0
Пример 1.7.					;		0	−1	0		-скалярные матрицы.
		0	4
							0	0
									−1

Определение. Квадратная матрица называется единичной, если у неё все элементы главной диагонали равны единице, а остальные нулю. Единичная матрица обозначается с помощью буквы Е.

Пример 1.8. E = 1 0 -единичная матрица второго порядка;

0 1

6

	1	0	0
	0	1	0		-единичная матрица третьего порядка.
E =
	0	0	1

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевая матрица обозначается с

помощью буквы О.		0	0	0
Пример 1.9.						-нулевая матрица.
	O =
		0	0	0

Определение. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые размеры и совпадают поэлементно.

Определение. Произведением матрицы Am×n															= (aij )			на число λ называется матрица Cm×n = (cij ) , элементы которой
равны cij = λaij (i=1..m, j=1..n).
Пример 1.10.											2		4	−1			на 3.
		Умножить матрицу A =
											−1		5		2
	2		4 −1				3 2			3 4 3 (−1)							6		12 −3				
 3 A = 3					=									=
							3	(−1) 3 5				3	2				−3		15 6
	−1 5			2
Определение. Суммой матриц Am×n = (aij ) и Bm×n																	= (bij )			называется матрица Cm×n = (cij ) , элементы которой равны
сij = aij +bij (i =1..m, j =1..n ).
												3	−2						−5		4
Пример 1.11.												1	0			B =			3		1
		Найти сумму матриц A =													,							.
												2	5						−3		−2
3		−2		−5			4		3 −5 −2				+ 4		−2				2
	1	0			3		1			1+3 0 +1							4		1		.
A + B =				+				=							=
	2	5			−3	−2				2 −3 5 −2									3
															−1

Разность двух матриц одинакового размера определяется через операцию сложения и операцию умножения на число:

A − B = A + (−1) B .

7

Операция умножения двух матриц определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй

матрицы.		k × n . Произведением
Определение. Пусть даны матрица	A = (aij ) размером m × k и матрица B = (bij ) размером
матриц A и B называют матрицу C = (cij ) (С=АВ) размером m × n с элементами:
cij	= ai1 b1 j + ai2 b2 j +... + aik bkj i =1..m, j =1..n
В формировании элемента сij произведения AB участвуют элементы i -ой строки матрицы A и		j -го столбца матрицы

B . Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения «строка на столбец».

Если произведение матриц AB существует,

то произведение матриц BA может не существовать, т.е. порядок матриц-

сомножителей существенен.

Пример 1.12. Найти произведения матриц AB и BA, если

1

3

B =

2

A =

,

.

5

−

2

−5

 Поскольку число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B , то произведение AB существует.

Определим его размер A2×2 B2×1 = C2×1

Вычислим элементы матрицы-произведения

1 3

2

1 2 + 3 (−5)

−13

AB =

=

=

5

5

2 + (−2)

− 2

− 5

(−5)

20

Число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A, поэтому произведение BA не существует.

Определение. Если определены оба произведения AB и BA и выполнено равенство AB = BA , то матрицы A и B

называют перестановочными.

1

2

1

3

и B

перестановочными.

Пример 1.13. Проверить, являются ли матрицы A =

=

4

6

− 2

−1

A

B

1

2 1 3

1 1 + 2 6

1 3 + 2 (−2)

13

−1

=

=

=

2×2

2×2

4 1 + (−1) 6

4

−1 6 − 2

4 3 + (−1) (−2)

− 2 14

8

B

A

1

3

1

2

1 1 + 3 4

1 2 + 3 (−1)

13

−1

=

=

=

2×2

2×2

6

− 2

4

6 1 + (−2) 4

6 2 + (−2) (−1)

− 2

14

−1

Следовательно, матрицы A и B перестановочные. 

Свойства операций сложения и умножения матриц:

1.A + B = B + A

2.(A + B)+ C = A + (B + C)

3.α(A + B)=αA +αB

4.A(BC) = (AB)C

5.A(B + C) = AB + AC

6.(A + B)C = AC + BC

7.α(AB) = (αA)B

Пример 1.14. Проверить, что равенство A(BC) = (AB)C выполняется для матриц

3

−1

2

3

0

A = (1 2),

C =

4

B =

,

1 .

5

0

− 4

5

− 2

Вычислим произведение A(BC) .

3

−1

2

3

0

B

C

4

1

=

2×3

3×2

=

5

0

− 4

5

− 2

=

3 3 + (−1) 4 + 2 5 3

0 + (−1)

1 + 2

(−2)

15 − 5

=

0 +

0 1 + (−4)

− 5 8

5 3 + 0 4 + (−4) 5 5

(−2)

A

(B

C

15

−5

= (1 15 + 2 (−5) 1 (−5) + 2 8)= (5 11)

3×2

) = (1 2)

1×2

2×3

−5

8

Вычислим произведение (AB)C

9

A	B		3	−1	2		=
		= (1 2)
1×2	2×3		5	0	− 4

= (1 3 + 2 5 1 (−1) + 2 0 1 2 + 2 (−4))= (13 −1 − 6)

		3	0
(A1×2 B2×3 ) C3×2		4	1
	= (13 −1 − 6)				=
		5	− 2

= (13 3 + (−1) 4 + (−6) 5 13 0 + (−1) 1 + (−6) (−2))= (5 11)

Поскольку, A(BC) = (5 11) и (AB)C = (5 11), то равенство A(BC) = (AB)C выполняется. 

Определение. Целой положительной степенью Am (m >1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е.

Am = A A ... A

													m раз
По определению полагают, что A0 = E,								A1 = A.
Пример 1.15. Найти A2							− 2			4
					, где A =
								3		1
A2	= A A =	− 2	4		− 2	4		16			− 4		
							=
									3		13
		3	1		3	1		−

Определение. Выражение вида P(A) =α0 E +α1 A +α2 A2 +... +αm Am , где A и E - соответственно квадратная и единичная матрицы одинакового порядка; α0 ,α1,α2 ,...,αm - числа, называется полиномом (многочленом) от матрицы.

Данное выражение рассматривают также как результат подстановки матрицы A вместо переменной x в обычный многочлен степени m :

	P(x) =α0 +α1x +α2 x2 +... +αm xm
Пример 1.16.	Вычислить значение многочлена f (x) = 2x2 − 4x + 5	− 2		−1
		от матрицы A =			.
			3	1

10

Вместо x подставляем в функцию															f (x) матрицу A, вместо числа 5 используем матрицу 5 E , где E -единичная
матрица второго порядка, как и матрица A.
A2 = A A			− 2				−1			− 2	−1				1	1
			=											=
				3			1			3	1				−3
																− 2
2			1	1					2		2
	A2 = 2						=
			−3	− 2					−	6	− 4
4	− 2			−1				−8		− 4
	A = 4						=
		3		1				12
										4
5		1	0			5		0
	E =5			=
		0	1			0		5

	2	2	−	−8		− 4		5 0		15				6
f (A) = 2A2 − 4A + 5E =								+		=				. 
	− 6					4					−18
		− 4		12				0 5						−3
Определение. Матрица AT , получающаяся из матрицы А с помощью замены строк соответствующими столбцами,
называется транспонированной.													3	7
				3	2	−1
								. Тогда		AT	=		2	1		.
Пример 1.17. Пусть матрица A =
				7	1	0
													−1	0

Свойства транспонирования матрицы:

1.(AT )T = A

2.(αA)T =αAT

3.(A + B)T = AT + BT

4.(AB)T = BT AT

НАЧАЛО ТЕМЫ

СОДЕРЖАНИЕ

11