Границя числової послідовності та функції однієї змінної.

Тема 1. Числова послідовність та її границя.

1. Числова послідовність та способи її задання.

2. Обмежені та монотонні числові послідовності.

3. Границя числової послідовності.

4. Нескінченно малі числові послідовності.

5. Нескінченно великі числові послідовності.

6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.

1. Числова послідовність та способи її задання.

Означення 1.1. Функція , яка задана на множині натуральних чисел (тобто її областю визначення є множина натуральних чисел), називаєтьсячисловою послідовністю з п – им членом .

, … - відповідно перший, другий , …. п – ий члени числової послідовності.

Позначення числової послідовності: (у_п), або , або,або.

Наприклад:

а) N

- числова послідовність всі члени якої дорівнюють 1

б) n є N

числова послідовність, на парних місцях якої стоїть 1, на непарних – (-1).

в) n є N. Підставляючи у формулу замість п натуральні числа, починаючи з 1, отримуємо члени заданої послідовності:

Послідовність (у_п) вважається заданою, якщо ми можемо обчислити будь-який член цієї послідовності.

Основні способи задання числової послідовності:

1) за допомогою формули п – го члена.

Наприклад:

(п факторіал) (– добуток натуральних чисел від 1 доп. За означенням приймають ,).

2) рекурентний.

Числова послідовність задана рекурентно, якщо відомо кілька перших членів цієї послідовності і вказано закон, за яким можна знайти решту членів, якщо відомі попередні.

Наприклад:

а) арифметична прогресія: а₁, d - різниця арифметичної прогресії. Тоді ;

б) геометрична прогресія: b₁, g – знаменник геометричної послідовності. Тоді

в) числа Фібоначчі

();

3) словесний.

Наприклад: послідовність простих чисел. Зрозуміло, що це задається наступна числова послідовність: 2, 3, 5, 7, 11, 13… .

2. Обмежені та монотонні числові послідовності.

Нехай задано числову послідовність у₁, у₂, …, у_n…

Означення 1.2. Послідовність (у_п) називають обмеженою, якщо існує таке число М>0, що при , тобто послідовністьобмежена, якщо значення всіх її членів за модулем не перевищують деякого додатнього числа.

Перепишемо нерівність, враховуючи властивості модуля: -М≤у_n≤М, . Геометрично це означає, що всі члени обмеженої послідовності належать відрізку [-М;М]. Згідно з означенням, послідовність (у_п) буде необмеженою, якщо для довільного додатнього числа А знайдеться елемент цієї послідовності, для якого виконуватиметься нерівність .

Означення 1.3. Послідовність, для якої виконується нерівність у_n≥-М=Р, , називаєтьсяобмеженою знизу, а послідовність, всі члени якої задовольняють нерівність у_n≤М, , називаютьобмеженою зверху.

Числова послідовність обмежена тоді і тільки тоді, коли вона обмежена і зверху і знизу.

Наприклад: послідовність у_n=(-1)ⁿ, - обмежена, бо , . Тут М≥1.

Означення 1.4. Послідовність (у_п) називається неспадною (незростаючою), якщо для всіх номерів п виконується нерівність , тобто значення кожного наступного члена послідовності не менше (не більше) значення попереднього її члена.

Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.

Означення 1.5. Якщо значення членів монотонної послідовності (у_п) для всіх номерів n задовольняють строгу нерівність , то послідовність(у_п) називають зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називають також строго монотонними.

Наприклад:

1) Послідовність натуральних чисел 1, 2, 3, …, n,… зростаюча, бо ,.

2) Послідовність чисел, обернених до натуральних, спадна, бо,

З означення неспадної та незростаючої послідовності випливає, що неспадна послідовність обмежена знизу, бо для неї ,, а незростаюча послідовність обмежена зверху, бо для неї,.