Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
70
Добавлен:
07.01.2014
Размер:
248.83 Кб
Скачать

Задача №1.

Для симметричного сечения №7 при геометрических размерах а=22 см, требуется определить моменты инерции относительно главных центральных осей и моменты сопротивления сечения.

Решение:

Разделяем мысленно фигуру на четыре простейшие фигуры.

Найдем момент инерции для первой фигуры:

Ix1=bh3/12

Ix1=54a4/12=9a4/2

Iy1=hb3/12

Iy1=3*a*8*a3/12=2a4

Ix1=1054152 см4

Iy1=468512 см4

Площадь первой фигуры равна:

F=6*a2

F=2904 см2

Найдем момент инерции для второй и третьей фигур:

Ix2,3=hb3/48

Ix2,3=a*27a3/48=9*a4/16

Iy2,3=bh3/36

Iy2,3=3*a*a3/36=a4/12

Ix2,3=131769 см4

Iy2,3=19521,3 см4

Площадь второй фигуры равна площади третьей фигуры:

F=1/2(3*a*a)=3/2(a2)

F=726 см2

Момент инерции четвертой фигуры равен:

Ix4=bh3/12

Ix4=a*8*a3/12=2*a4/3

Iy4=hb3/12

Iy4=a4/6

Ix4=156170,67 см4

Iy4=39042,67 см4

Площадь четвертой фигуры равна:

F=2*a2

F=968 см2

Найдем моменты инерции относительно главных осей:

Ix=Ix1+Ix2+Ix3 – Ix4= 1054152+131769+131769-156170,67=1161519,3 см4

Iy=Iy1+Iy2+F2*x22+Iy3+F3*x32 – Iy4= 468512 +19521,3 + 726*(88/3)2+19521,3+726*(88/3)2 – 39042,67=1715177,3 см4

Imax=Iy=1715177,3 см4

Imin=Ix=1161519,3 см4

Найдем моменты сопротивления сечения:

Wx=Ix/yверх

Wx=1161519,3/33=35197,5 см3

Wy=Iy/xпр

Wy=1715177,3/44=38981,3 см3

Задача №2

Для сечения №58, имеющего одну ось симметрии, при a=22, нужно определить:

- положение центра тяжести;

- главные моменты инерции, главные радиусы инерции и моменты сопротивления для нижних и верхних волокон.

Решение:

Рассмотрим данную фигуру как три простейшие фигуры:

Найдем моменты инерции и площадь первой фигуры:

Ix1=hb3/12

Ix1=4*a*64*a3/12=64*a4/3

Iy1=bh3/12

Iy1=64*a4/3

Ix1=4997461,3 см4

Iy1=4997461,3 см4

Площадь первой фигуры равна:

F1=16*a2

F1= 7744 см2

Рассмотрим вторую фигуру:

Ix2=bh3/36

Ix2=4*a*8*a3/36=2*a4/3

Iy2=hb3/48

Iy2=2*a*64*a3/48=8*a4/3

Ix2=156170,67 см4

Iy2=624682,67 см4

Площадь второй фигуры равна:

F=1/2*(4*a*2*a)=4*a2

F=1936 см2

Рассмотрим третью фигуру:

Ix3=0,111a4

Iy3=π*a4/8

Yc=0,425*a

Ix3=26002,4 см4

Iy3=91945,5 см4

Площадь третьей фигуры равна:

F3=1/2*(π*a2)

F3=759,9 см2

Пусть (х11) – вспомогательные оси.

Найдем расположение осей относительно вспомогательных осей:

у1=0 так как это расстояние между осями х1 и х1

у2=2*2*а/3=4*а/3

у3=-(а+0,575*а)= - 1,575*а

Найдем общую площадь:

F=16*a2-4*a2-1/2*π*a2=a2*(12-1/2π)

F=5048,12 см2

Sx1=F1y1+F2y2+F3y3=0 - 16*a3/3 + 2,473*a3= - 2,86*a3

Sx1= - 30488,8 см3

Xц.т=0

Уц.т= Sx1/F=30453,3/5048,12= - 6,04 см

Проверка:

(х;у) – центральные оси.

Тогда:

у1= 6,033 см

у2= 35,37 см

у3= - 28,6 см

Найдем статический момент:

Sx= F1y1 - F2y2 - F3y3= 16*222*6,033 - 4*222*23,3 + 40,68*π*222*1/2 = 30,1

ξ%=30,1/30919,5=0,12%

Ix=Ix1+F1y12 – Ix2 – F2y22 –Ix3 - Fx3y32

Ix=2788615,5 см4

Iy=Iy1 – Iy2 – Iy3

Iy=4280833,2 см4

Imax=Ix= 2788615,5 см4

Imin=Iy= 4280822,2 см4

ix=√Ix/F= 23,5

iy=√Iy/F=29,12

Wxверх=Ix/yверх

Wxверх=73448,4 см3

Wxнижн=Ix/yнижн

Wxнижн=55735,5 см3

Задача №3.

Для несимметричного сечения №79, при а=22 см, требуется:

- определить положение центра тяжести;

- вычислить осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;

- определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции;

- построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей;

- сравнить результаты аналитического и графического расчетов.

Для швеллера номер 40:

F1=61,5 см2

h=40 см

b=11,5 см

Ix1=15220 см4

Iy1=642 см4

x0=2,75 см

Для равнобокого уголка (220х220х16):

F2=68,6 см2

Ix2=Iy2=3175 см4

x0=y0=6,02 см

Найдем центр тяжести:

(x1;y1) – исходные оси

x1=0 см

x2=8,77 см

y1=0 см

y2=13,98 см

Sy1=F1x1+F2x2=0+68,6*8,77=601,62 см3

Xц.т.=Sy1/F=601,62/(68,6+61,5)=4,62 см

Sx1= F1y1+F2y2=0+68,6*13,98=956,03 см3

Yц.т.=Sx1/F=956,03/(68,6+61,5)=7,37 см

Сделаем проверку:

(x;y) – центральные оси

x1= - 4,62 см

x2= 4,15 см

y1= - 7,37 см

y2= 6,61 см

Sx= F1y1+F2y2=61,5*( - 7,37)+68,6*6,61= - 453,255+453,446=0,191

ξ%=0,191*100%/453,255=0,04

Sy= F1x1+F2x2=61,5*( - 4,62)+68,6*4,15= - 284,13+284,69=0,56

ξ%=0,56*100%/284,13=0,2

Вычислим осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей:

Ix=Ix1+F1y12 +Ix2 +F2y22=15220+61,5*7,372+3175+68,6*6,612=24732,8 см4

Iy= Ix1+F1x12 +Ix2 +F2x22=642+61,5*4,622+3175+68,6*4,152=6311,14 см4

Imax=Ix=24732,8 см4

Imin=Iy=6311,14 см4

Ixy=Ix1y1+F1x1y1+Ix2y2+F2x2y2=1870+61,5*4,62*7,37+68,6*4,15*6,61=5845,84 см4

Определение положения главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции:

I=I1,2=(Ix+Iy)/2 ±√ ((Ix+Iy)/2)2+ Ixy2=15522±10909,3

Imax=I1=26431,3 см4

Imin=I2=4612,7 см4

tg α1,2= Ixy/(Iy – I1,2)

tg α1= - 0,29

α1= - 16,2º

tg α2=3,44

α2=73,8º

Проверка ортогональности осей 1,2:

tg α1* tg α2= - 0,998

ξ%=0,002*100%/1=0,2%

α1 - α2 =90%

Главная проверка:

I1,2=(Ix - Iy)*sin2 α2/2 + Ixy*cos2 α2 = 4935,41- 4935,8 = - 0,396

ξ%=0,396*100%/4935,41=0,01%