1 семестр / РГР 2 - Хозяин - 2006 / 2) РГР 2
.docЗадача №1.
Для симметричного сечения №7 при геометрических размерах а=22 см, требуется определить моменты инерции относительно главных центральных осей и моменты сопротивления сечения.
Решение:
Разделяем мысленно фигуру на четыре простейшие фигуры.
Найдем момент инерции для первой фигуры:
Ix1=bh3/12
Ix1=54a4/12=9a4/2
Iy1=hb3/12
Iy1=3*a*8*a3/12=2a4
Ix1=1054152 см4
Iy1=468512 см4
Площадь первой фигуры равна:
F=6*a2
F=2904 см2
Найдем момент инерции для второй и третьей фигур:
Ix2,3=hb3/48
Ix2,3=a*27a3/48=9*a4/16
Iy2,3=bh3/36
Iy2,3=3*a*a3/36=a4/12
Ix2,3=131769 см4
Iy2,3=19521,3 см4
Площадь второй фигуры равна площади третьей фигуры:
F=1/2(3*a*a)=3/2(a2)
F=726 см2
Момент инерции четвертой фигуры равен:
Ix4=bh3/12
Ix4=a*8*a3/12=2*a4/3
Iy4=hb3/12
Iy4=a4/6
Ix4=156170,67 см4
Iy4=39042,67 см4
Площадь четвертой фигуры равна:
F=2*a2
F=968 см2
Найдем моменты инерции относительно главных осей:
Ix=Ix1+Ix2+Ix3 – Ix4= 1054152+131769+131769-156170,67=1161519,3 см4
Iy=Iy1+Iy2+F2*x22+Iy3+F3*x32 – Iy4= 468512 +19521,3 + 726*(88/3)2+19521,3+726*(88/3)2 – 39042,67=1715177,3 см4
Imax=Iy=1715177,3 см4
Imin=Ix=1161519,3 см4
Найдем моменты сопротивления сечения:
Wx=Ix/yверх
Wx=1161519,3/33=35197,5 см3
Wy=Iy/xпр
Wy=1715177,3/44=38981,3 см3
Задача №2
Для сечения №58, имеющего одну ось симметрии, при a=22, нужно определить:
- положение центра тяжести;
- главные моменты инерции, главные радиусы инерции и моменты сопротивления для нижних и верхних волокон.
Решение:
Рассмотрим данную фигуру как три простейшие фигуры:
Найдем моменты инерции и площадь первой фигуры:
Ix1=hb3/12
Ix1=4*a*64*a3/12=64*a4/3
Iy1=bh3/12
Iy1=64*a4/3
Ix1=4997461,3 см4
Iy1=4997461,3 см4
Площадь первой фигуры равна:
F1=16*a2
F1= 7744 см2
Рассмотрим вторую фигуру:
Ix2=bh3/36
Ix2=4*a*8*a3/36=2*a4/3
Iy2=hb3/48
Iy2=2*a*64*a3/48=8*a4/3
Ix2=156170,67 см4
Iy2=624682,67 см4
Площадь второй фигуры равна:
F=1/2*(4*a*2*a)=4*a2
F=1936 см2
Рассмотрим третью фигуру:
Ix3=0,111a4
Iy3=π*a4/8
Yc=0,425*a
Ix3=26002,4 см4
Iy3=91945,5 см4
Площадь третьей фигуры равна:
F3=1/2*(π*a2)
F3=759,9 см2
Пусть (х1;у1) – вспомогательные оси.
Найдем расположение осей относительно вспомогательных осей:
у1=0 так как это расстояние между осями х1 и х1
у2=2*2*а/3=4*а/3
у3=-(а+0,575*а)= - 1,575*а
Найдем общую площадь:
F=16*a2-4*a2-1/2*π*a2=a2*(12-1/2π)
F=5048,12 см2
Sx1=F1y1+F2y2+F3y3=0 - 16*a3/3 + 2,473*a3= - 2,86*a3
Sx1= - 30488,8 см3
Xц.т=0
Уц.т= Sx1/F=30453,3/5048,12= - 6,04 см
Проверка:
(х;у) – центральные оси.
Тогда:
у1= 6,033 см
у2= 35,37 см
у3= - 28,6 см
Найдем статический момент:
Sx= F1y1 - F2y2 - F3y3= 16*222*6,033 - 4*222*23,3 + 40,68*π*222*1/2 = 30,1
ξ%=30,1/30919,5=0,12%
Ix=Ix1+F1y12 – Ix2 – F2y22 –Ix3 - Fx3y32
Ix=2788615,5 см4
Iy=Iy1 – Iy2 – Iy3
Iy=4280833,2 см4
Imax=Ix= 2788615,5 см4
Imin=Iy= 4280822,2 см4
ix=√Ix/F= 23,5
iy=√Iy/F=29,12
Wxверх=Ix/yверх
Wxверх=73448,4 см3
Wxнижн=Ix/yнижн
Wxнижн=55735,5 см3
Задача №3.
Для несимметричного сечения №79, при а=22 см, требуется:
- определить положение центра тяжести;
- вычислить осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей;
- определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции;
- построить круг инерции и определить графически величины главных моментов инерции и направления главных центральных осей;
- сравнить результаты аналитического и графического расчетов.
Для швеллера номер 40:
F1=61,5 см2
h=40 см
b=11,5 см
Ix1=15220 см4
Iy1=642 см4
x0=2,75 см
Для равнобокого уголка (220х220х16):
F2=68,6 см2
Ix2=Iy2=3175 см4
x0=y0=6,02 см
Найдем центр тяжести:
(x1;y1) – исходные оси
x1=0 см
x2=8,77 см
y1=0 см
y2=13,98 см
Sy1=F1x1+F2x2=0+68,6*8,77=601,62 см3
Xц.т.=Sy1/F=601,62/(68,6+61,5)=4,62 см
Sx1= F1y1+F2y2=0+68,6*13,98=956,03 см3
Yц.т.=Sx1/F=956,03/(68,6+61,5)=7,37 см
Сделаем проверку:
(x;y) – центральные оси
x1= - 4,62 см
x2= 4,15 см
y1= - 7,37 см
y2= 6,61 см
Sx= F1y1+F2y2=61,5*( - 7,37)+68,6*6,61= - 453,255+453,446=0,191
ξ%=0,191*100%/453,255=0,04
Sy= F1x1+F2x2=61,5*( - 4,62)+68,6*4,15= - 284,13+284,69=0,56
ξ%=0,56*100%/284,13=0,2
Вычислим осевые и центробежные моменты инерции относительно центральных осей:
Ix=Ix1+F1y12 +Ix2 +F2y22=15220+61,5*7,372+3175+68,6*6,612=24732,8 см4
Iy= Ix1+F1x12 +Ix2 +F2x22=642+61,5*4,622+3175+68,6*4,152=6311,14 см4
Imax=Ix=24732,8 см4
Imin=Iy=6311,14 см4
Ixy=Ix1y1+F1x1y1+Ix2y2+F2x2y2=1870+61,5*4,62*7,37+68,6*4,15*6,61=5845,84 см4
Определение положения главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции:
I=I1,2=(Ix+Iy)/2 ±√ ((Ix+Iy)/2)2+ Ixy2=15522±10909,3
Imax=I1=26431,3 см4
Imin=I2=4612,7 см4
tg α1,2= Ixy/(Iy – I1,2)
tg α1= - 0,29
α1= - 16,2º
tg α2=3,44
α2=73,8º
Проверка ортогональности осей 1,2:
tg α1* tg α2= - 0,998
ξ%=0,002*100%/1=0,2%
α1 - α2 =90%
Главная проверка:
I1,2=(Ix - Iy)*sin2 α2/2 + Ixy*cos2 α2 = 4935,41- 4935,8 = - 0,396
ξ%=0,396*100%/4935,41=0,01%