2.5. Замкнуті системи масового обслуговування 5

Математична модель.СМО називаєтьсязамкнутою, якщо вона має обмежену кількість клієнтів. Розглянемо замкнуту СМО, яка маєmканалів обслуговування (сервісів), які обслуговують групу ізnклієнтів (m < n).Інтенсивність потоку заявок на обслуговування від кожного клієнта дорівнює . Якщо клієнт, подав заявку на обслуговування і у цей момент є вільний канал, він приступає до обслуговування клієнта. На це витрачаєтьсячас де– інтенсивність потоку обслуговувань. Якщо в момент прибуття клієнта усі канали зайняті, клієнт стає у чергу і чекає, поки не звільниться який-небудь канал.

Припускається, що проміжки часу між моментами надходженнями клієнтів у систему обслуговування і тривалості обслуговування розподілені за експоненціальними законами відповідно з параметрами λ і μ, тобто вхідний і вихідний потоки є пуассонівськими.

Треба визначити імовірності станів даної системи та її операційні характеристики.

Система, яка має m каналів обслуговування і джерелом заявок є n клієнтів, має стани, які нумеруються за кількістю поданих заявок k. Очевидно, що вона може знаходитись у станах S₀, S₁, ..., S_n. Параметри СМО:

Діаграма інтенсивностей переходів замкнутої СМО показана на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Діаграма інтенсивностей переходів системи

Із діаграми видно, що із стану у стансистему переводить потік заявок від усіх клієнтів, його інтенсивність дорівнюєІз стануу стансистему переводить потік заявок відклієнтів (один клієнт вже обслуговується) і т. д. Інтенсивності потоків подій, які переводять систему справа уліво залежать від кількості заявок, які обслуговуються у даний момент і дорівнюють. Застосовуючи методику виведення рівнянь для ймовірностей станів системи у стаціонарному режимі приодержимо систему різницевих алгебраїчних рівнянь

(2.13)

Із цієї системи знаходимо граничні імовірності станів даної СМО. Вводячи приведену інтенсивність обслуговування , одержимо такі формули:

(2.14)

де

.

, (2.15)

Із цих формул можна одержати рекурентні формули для ймовірностей станіву вигляді:

(2.16)

У ці формули входить невідоме значення p₀. Воно обчислюється за наступним алгоритмом. Позначимо у наведених формулахі покладемо спочатку. Обчислимо q_k (k=1,...,n) за цими формулами, а також суму

Використовуючи умову нормування ймовірностей, запишемо

.

Звідкіля знаходимо величину . Помноживши теперна, знаходимо шукані величини

.

Операційні характеристики СМО:

Операційні характеристики замкнутої СМО будуть відмінні від тих, які ми застосовували раніш для СМО з необмеженою кількістю джерел заявок. Так роль абсолютної пропускної спроможності у даному випадку буде відігравати середня кількість клієнтів, що обслуговується в одинцю часу. Відносна пропускна здатність у даному випадку не обчислюється, оскільки кожна заявка, у кінці кінців, буде обслужена. Отже будемо мати такі характеристики:

1. Середнє число зайнятих каналів обслуговування

.

2. Середнє число незайнятих каналів обслуговування

або

3. Середнє кількість заявок, які знаходяться на обслуговуванні

4. Середня кількість заявок у системі (заявок, які знаходяться на обслуговуванні і у черзі)

або .

5. Середнє число заявок у черзі

Між вказаними величинами існують співвідношення

6. Середнє число заявок, які знаходяться поза системою

або

7. Абсолютна пропускна здатність (середнє число заявок, які обслуговуються в одиницю часу

.

8. Середній час знаходження заявки у системі:

.

Ця формула випливає із співвідношення

.

9. Середній час чекання заявки у черзі

або

де де– ефективна інтенсивність вхідногопотоку, яка одержується, якщо врахувати, що у стаціонарному режимі параметр потоку дорівнює не, а

Він одержується із рівності

.

де .

Із формули для можна одержати також середню кількість заявок у вигляді

.

10. Коефіцієнт простою заявок у черзі

11. Коефіцієнт простою каналу:

12 .Імовірність того, що заявка у будь-який момент часу буде знаходитись поза системою обслуговування

або

де – середня кількість заявок, які знаходяться у системі,– середній час знаходження заявки поза системою.

Величину називають такожкоефіцієнтом оперативного використання каналів обслуговування.

Програма Smo_4. Замкнута СМО

Вхідні дані:

n – кількість каналів обслуговування;

m – кількість місць у черзі;

– інтенсивність вхідного потоку;

– інтенсивність обслуговування;

ρ – приведена інтенсивність (ρ=λ/μ).

Виклик програми:

Результат:

p = < вектор-стовпець ймовірностей станів СМО>.

Приклад 2.7. Обслуговування 8 автомобілів автотранспортної фірми доручено 2 механікам. Приведена інтенсивність обслуговуванняОтже, маємо замкнуту СМО з такими параметрами:

n=8, m=2, = 0,2.

Розв'язання. Обчислення ймовірностей станів СМО здійснюються за програмою Smo_4. Результати обчислень імовірностей станів і її функціональні характеристики подані у таблицях 2.5 і 2.6..

Алгоритм у Mathcad

Вхідні параметри

Результати програми – вектор ймовірностей станів СМО

p:=Smo_4(n, m, ρ)

Операційні характеристики СМО:

1. Середня кількість зайнятих механіків

2. Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість автомобілів, які обслуговуються в одиницю часу

3. Середня кількість не зайнятих механіків

4. Середня кількість автомобілів у системі обслуговування (автомобілів, які знаходяться на обслуговуванні і у черзі)

5. Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговування

6. Середня кількість працюючих автомобілів (кількість автомобілів поза системою обслуговування)

7. Середній час чекання автомобілів у черзі

8. Середній час знаходження автомобілів у системі обслуговування (час обслуговування + час у черзі)

9. Коефіцієнти простою автомобілів і механіків

Таблиця 2.5. Імовірності станів СМО p_kдля n = 8, m =2,=02.

Число непрацюючих автомобілів k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Число автомобілів у черзі	0	0	0	1	2	3	4	5	6
Число незайнятих механіків	2	1	0	0	0	0	0	0	0
Імовірності станів pk	0,204	0,33	0,23	0,14	0,07	0,03	0,01	0,0	0,0