Часть-II.-Редуцирование

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственный университет по землеустройству

Кафедра геодезии и геоинформатики

А.Б.Беликов, П.А.Докукин, В.Ю.Давыдов

ВЫСШАЯГЕОДЕЗИЯ

ЧАСТЬ II

РЕДУЦИРОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ С ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА НА ПЛОСКОСТЬ В ПРОЕКЦИИ ГАУССА-КРЮГЕРА

Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности 120101 «Прикладная геодезия»

Москва, 2010

УДК 528.1

Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой геодезии и геоинформатики Государственного университета по землеустройству (протокол № 9 от 9 июля 2010 г.)

Одобрены к изданию Ученым советом факультета Городского кадастра Государственного университета по землеустройству (протокол № 1 от 27 сентября 2010 г.)

Составители: проф., к.т.н. Беликов А.Б., ст.преп., к.т.н. Докукин П.А., ст. преп. Давыдов В.Ю.

Рецензент: проф, д.т.н. Баранов В.Н.

2

СОДЕРЖАНИЕ
1. Методические указания по выполнению работы ........................................	4
1.1. Вычисление прямоугольных координат Х и У по геодезическим B и L
и гауссово сближение меридианов на исходных пунктах сети......................	5
1.2. Вычисление приближенных значений дирекционных углов исходных
сторон ...................................................................................................................	6
1.3. Редуцирование длин исходных сторон с эллипсоида на плоскость.......	7
1.4. Предварительное решение треугольников и вычисление сферических
избытков...............................................................................................................	7
1.5. Вычисление приближенных значений прямоугольных координат
определяемых пунктов .......................................................................................	8
1.6. Вычисление поправок в направления за кривизну геодезических линий
...............................................................................................................................	9
1.7. Составление списка редуцированных на плоскость направлений .......	10
1.8. Вычисление дирекционных углов исходных сторон на плоскости......	10
2. Пример редуцирования геодезической сети на плоскость в....................	11
проекции Гаусса-Крюгера................................................................................	11
2.1. Исходные данные.......................................................................................	11
2.2. Решение задачи...........................................................................................	12
2.2.1. Вычисление прямоугольных координат Х и У по геодезическим B и
L и гауссово сближение меридианов на исходных пунктах сети................	12
2.2.2. Вычисление геодезических координат В и L по прямоугольным Х и
У и гауссово сближение меридианов на исходных пунктах сети
(контрольные вычисления)...............................................................................	13
2.2.3. Вычисление приближенных значений дирекционных углов исходных
сторон .................................................................................................................	14
2.2.4. Редуцирование длин исходных сторон с эллипсоида на плоскость..	15
2.2.5. Предварительное решение треугольников и вычисление сферических
избытков.............................................................................................................	15
2.2.6. Вычисление приближенных значений прямоугольных координат
определяемых пунктов .....................................................................................	16
2.2.7. Вычисление поправок в направления за кривизну изображения
геодезических линий на плоскости.................................................................	16
2.2.8. Контрольные вычисления поправок через сферический избыток....	17
2.2.9. Составление списка редуцированных на плоскость направлений ....	18
2.2.10. Вычисление дирекционных углов исходных сторон на плоскости. 18
Приложение 1. ...................................................................................................	19
Приложение 2. ...................................................................................................	19
Приложения 3 ....................................................................................................	19
Приложения 4 ....................................................................................................	23
Приложение 5 ....................................................................................................	26

3

1. Методические указания по выполнению работы

Для выполнения топографо-геодезических работ и крупномасштабного картографирования применяется система плоских прямоугольных координат, основанная на проекции Гаусса - Крюгера для равноугольного изображения поверхности земного эллипсоида на плоскости.

В связи с этим возникает необходимость в редуцировании результатов геодезических измерении, отнесенных к поверхности земного эллипсоида на плоскость в указанной проекции.

Редуцирование геодезической сети с поверхности эллипсоида на плоскость в проекции Гаусса – Крюгера выполняется в следующей последовательности:

oПереход от геодезических координат исходных пунктов к прямоугольным плоским координатам с вычислением

гауссова сближения меридианов. Для контроля выполняется решение обратной задачи, т.е. вычисление геодезических координат по прямоугольным.

oВычисление приближенных значений дирекционных углов заданных и измеренных исходных сторон.

o Редуцирование длин исходных сторон с поверхности эллипсоида на плоскость.

o Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков.

o Вычисление приближенных значений координат определяемых пунктов.

o Вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезической линий на плоскости. Контроль вычислений по сферическим избыткам.

o Составление списка редуцированных на плоскость направлений и длин сторон.

oВычисление окончательных значений длин и дирекционных углов исходных сторон.

4

1.1. Вычисление прямоугольных координат Х и У по геодезическим B и L и гауссово сближение меридианов на исходных пунктах сети

Пусть заданы геодезические координаты B и L какой-либо точки, расположенной в зоне с осевым меридианом L0 , и

требуется вычислить плоские прямоугольные координаты Х и У этой точки и гауссово сближение меридианов γ в этой точке. Для вычисления воспользуемся формулами:

X =6367558,4969 ρB"" −(a0 −0,5Nl 2 −a4 Nl 4 −a6 Nl6 )sin Bcos B;

Y=(Nl +a3 Nl3 +a5 Nl5 ) cos B

γ=l"sin B + 13 l 2l"sin Bcos2 B(1+0,00674cos2 B)

Впредставленных формулах приняты следующие обозначения:

l =		(L −L0 )"	−разность долгот данной точки и осевого
		ρ"
меридиана, выраженная в радианной мере;
N =6399698,902 −[21562,267 −(108,973 −0,612cos2 B)cos2 B]cos2 B
a0	=32140,404 −[135,3302 −(0,7092 −0,0040cos2 B)cos2 B]cos2 B;
a4	= (0,25 +0,00252cos2 B)cos2 B −0,04166;
a6	=(0,166cos2 B −0,084) cos2 B;
a3	=1/ 3cos2 B +0,001123cos4 B −1/ 6;
a5	=0,0083 −0,1667cos2 B +0,1968cos4 B −0,0040cos6 B.

В триангуляции 1 класса координаты Х и У вычисляют с точностью до 0,001 м. Значение ординаты У получают относительно осевого меридиана. Вычисление проводят в табл.1. Координаты Х и Y следует округлить до 0,01 м, а значение γ - до

0,01".

Обратный ход вычислений, т.е. нахождение B и L, а также γ по значениям Х и Y выполняется по формулам:

5

B = Bx −[1−(b4 −0,12z2 )z2 ]z2b2 ρ";

L = L0 +l;

l=[1−(b3 −b5 z2 )z2 ]zρ";

γ={1−[0,33333 −0,00225cos4 Bx ]z2 }z sin Bx ρ".

Вэтих формулах приняты обозначения:

z =Y /(Nx cos Bx );

Bx = β +{50221746 +[293622 +(2350 +22cos2 β)cos2 β]cos2 β}10−10 sin β cos βρ"; β = Xρ"/ 6367558,4969;

Nx =63996,902 −[21562,267 −(108,973 −0,612cos2 β)cos2 β]cos2 β; b2 =(0,5 +0.003368cos2 β)sin Bx cos Bx ;

b3 =0,333333 −(0,166667 −0,001123cos2 Bx ) cos2 Bx ; b4 =0,25 +(0,16161+0,00562cos2 Bx ) cos2 Bx ;

b5 =0,2 −(0,1667 −0,0088cos2 Bx ) cos2 Bx .

Все вычисления располагают в табл.2. При обратном ходе вычислений значения B и L необходимо округлить до 0,01", при этом, допустимые расхождения с исходными данными могут быть не более 0,03".

1.2. Вычисление приближенных значений дирекционных углов исходных сторон

Приближенное значение величины αik′ - дирекционных углов исходных сторон определяют по формуле

		αik′ = Aik −γi ,
где	Aik −геодезический	азимут	исходной	стороны,
γi −гауссово сближение меридианов на пункте i,				вычисленное
при переходе от B и L к X		и Y .
	Вычисления располагают в табл.3.

6

1.3. Редуцирование длин исходных сторон с эллипсоида на плоскость

Вычисление длины линии dij на плоскости по заданной или измеренной длине Sij геодезической линии на поверхности земного эллипсоида выполняют по формуле

dij = Sij +	dij ,
где dij − поправка в длину линии	за переход с поверхности

эллипсоида на плоскость, которая вычисляется по формуле:

	1			2		Y	2
dij =					+	12
	2R2 Ym						Sij ,
		m

	где	Ym =	Yi +Yj	; Y =Yj −Yi ; Rm = MN − средний радиус кривизны на
			2

поверхности земного эллипсоида в точке с ординатой Ym .

	Значение	1	можно вычислить по известным формулам,
		2R2
		m

или выбрать из таблиц, приведенных в Приложении 1. Вычисления проводят в табл. 4. Окончательное значение

длины линии на плоскости округлить до 0,001 м.

1.4. Предварительное решение треугольников и вычисление сферических избытков

Для последующего решения треугольников на схеме сети выделить и пронумеровать ряд треугольников, начиная от исходной стороны до измеренной. Треугольники, не попавшие в ряд, нумеровать и решать последними. Дать сквозную нумерацию всех измеренных углов.

В схеме решения треугольников подготовить столько блоков, сколько треугольников в сети имеется. В каждом блоке на первой строке записать название вершины, лежащей против исходной для данного треугольника стороны. Во второй строке – вершины, лежащие против промежуточной стороны, а в третьей

7

– вершины, лежащие против стороны, служащей исходной для следующего треугольника.

Значения углов необходимо вычислить по измеренным направлениям с округлением до 0,1'. При этом сумма углов должна быть равна 180°.

Длины сторон треугольников следует вычислить по теореме синусов с округлением до 1 м.

Для каждого треугольника вычисляют сферический избыток ε" с округлением до 0,01" по формуле

ε"= 2ρR"2 absin C.

При вычислении сферического избытка стороны треугольника необходимо выразить в километрах, а величину

ρ"

2R2

выбрать из таблиц Приложения 1. Все вычисления провести в табл.5.

1.5. Вычисление приближенных значений прямоугольных координат определяемых пунктов

Для вычисления приближенных значений прямоугольных координат необходимо на схеме сети наметить ходовую линию от начального (исходного) пункта через все определяемые. При вычислениях используют известные формулы решения данной задачи на плоскости:

X j = X i + dij cosαij ;

Yj =Yi + dij sin αij .

Длины сторон dij выбирают из табл.5 предварительного

решения треугольников. Дирекционные углы рассчитывают от предварительного значения дирекционного угла исходной линии, который округляется до 0,1'.

Все вычисления располагают в табл.6. Окончательные значения приближенных координат записать с округлением до 1 м.

8

1.6. Вычисление поправок в направления за кривизну геодезических линий

Поправки в направления за кривизну геодезической линии на плоскости δij вычисляются по формулам:

δij = −δji = 2ρR"2 13 ( Xi − X j )(2Yi +YJ ).

При вычислениях величина 2ρR"2 выбирается и таблиц

Приложения 1 по средней широте. Поправки, вычисленные по приведенным формулам, алгебраически прибавляют к значениям измеренных направлений. Для вычисления поправок необходимо абсциссы точек выбрать из табл.6 с округлением до 0,01 км, а ординаты – до 0,1км. Все вычисления проводятся в табл. 7. В первом столбце этой таблицы записываются название пунктов, при этом первым дается название пункта, с которого проводились наблюдения (пункт под номером i ). Далее записываются подряд все пункты, на которые проводились наблюдения с пункта i (в табл.7 они следуют под номерами j1 ... jn ). Количество блоков

должно соответствовать количеству пунктов, на которых проводились измерения, а количество строк в блоке равно количеству измеренных на пункте направлений плюс один.

Для контроля в каждом треугольнике необходимо вычислить поправку δi в каждый угол как разность поправок δij

правого и δik левого направлений

δi =δij −δik .

Сумма поправок в каждом треугольнике должна быть равно сферическому избытку, взятому с противоположным знаком

∑3 δi = −ε.

i=1

Контрольные вычисления следует расположить в табл.8. Таблица будет содержать столько блоков, сколько треугольников имеет рассматриваемая сеть.

9

1.7. Составление списка редуцированных на плоскость направлений

Вычисленные значения δij поправок направлений

необходимо ввести в приведенные к центрам знаков направления. В связи с тем, что на каждом пункте направления приведены к начальному (нулевому) направлению, следует вычислить разность поправок данного и начального направлений δ j =δij −δi0 ..

Эту поправку вводят в соответствующее направление Nij1 с номером j пункта i . Все вычисления проводят в табл. 9, где

формируют столько блоков, сколько имеется пунктов в сети. Каждый блок содержит столько строк, сколько пунктов наблюдается с исходного.

1.8. Вычисление дирекционных углов исходных сторон на плоскости

Окончательные значения дирекционных углов сторон с номером ij , для которых заданы или измерены азимуты Aij ,

вычисляют по формуле:

		αij = Aij −γi +δij ,
где γi	−	гауссово сближение меридианов, рассчитанное для
пункта	i;	δij − поправка за кривизну геодезической линии в

направлении с номером ij .

10