Часть-I.-Сфероидическая-геодезия

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственный университет по землеустройству

Кафедра геодезии и геоинформатики

А.Б.Беликов, П.А.Докукин, В.Ю.Давыдов

ВЫСШАЯГЕОДЕЗИЯ

ЧАСТЬ I

СФЕРОИДИЧЕСКАЯ ГЕОДЕЗИЯ

Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности 120101 «Прикладная геодезия»

Москва, 2010

УДК 528.2

Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой геодезии и геоинформатики Государственного университета по землеустройству (протокол № 9 от 9 июля 2010 г.)

Одобрены к изданию Ученым советом факультета Городского кадастра Государственного университета по землеустройству (протокол № 1 от 27 сентября 2010 г.)

Составители: проф., к.т.н. Беликов А.Б., ст.преп., к.т.н. Докукин П.А., ст. преп. Давыдов В.Ю.

Рецензент: проф, д.т.н. Баранов В.Н.

2

СОДЕРЖАНИЕ

1. Вычисление длин дуг меридианов и параллелей и площади
географической трапеции эллипсоида .............................................	4
1.1. Вычисление длин северной и южной рамок...........................	4
1.2. Вычисление длин западной и восточной рамок.......................	5
1.3. Вычисление площади трапеции.................................................	5
Пример вычисления...........................................................................	6
Варианты для самостоятельного решения.......................................	9
2. Решение больших сфероидических треугольников....................	9

2.1.Вычисление сторон треугольника по известным

сфероидическим углам ......................................................................	9
Пример вычисления.........................................................................	11
Варианты для самостоятельного решения.....................................	16
2.2. Вычисление сфероидических углов треугольника.................	18
по измеренным сторонам.................................................................	18
Пример вычисления.........................................................................	19
Варианты для самостоятельного решения.....................................	21
3. Решение прямой и обратной геодезических задач....................	22
3.1. Прямая геодезическая задача...................................................	22
Пример вычисления.........................................................................	24
Варианты для самостоятельного решения.....................................	26
3.2. Обратная геодезическая задача................................................	27
Пример вычисления.........................................................................	28
Варианты для самостоятельного решения.....................................	29

3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

1. Вычисление длин дуг меридианов и параллелей и площади географической трапеции эллипсоида

Целью данной работы является вычисление размеров рамок и площади географической трапеции для карты масштаба 1:100 000 международной разграфки.

Каждый студент получает значение номенклатуры листа карты масштаба 1:100 000. На схематическом чертеже строится соответствующий лист карты масштаба 1:1 000 000, на котором наносятся листы карты масштаба 1:100 000. Далее соответствующим образом помечается лист карты с заданной номенклатурой. После этого строится схематический чертеж листа карты масштаба 1:100 000 с указанием географических координат углов рамок трапеции. Эти величины являются исходными для проведения дальнейших вычислений.

Все приведенные в работе формулы отнесены к эллипсоиду Красовского.

1.1. Вычисление длин северной и южной рамок

Длина отрезка дуги параллели для эллипсоида вращения может быть вычислена по формуле

			L2	(L	2	− L )"
			Sпар = ∫Ni cos Bi dL =					1	Ni cos Bi	,
						ρ	"
			L1
где	N	i	= 6378245,0 +(21345,8 +108,1sin					2 B ) sin 2 B		- радиус
								i	i

нормального сечения эллипсоида в плоскости первого вертикала в точке с широтой Bi .

Для вычисления длин северной и южной рамок трапеции принимаются соответственно широты Bi , полученные по

номенклатуре трапеции. Разность долгот соответствует размеру рамки трапеции.

4

1.2. Вычисление длин западной и восточной рамок

Длина отрезка дуги меридиана может быть вычислена по формуле

							B2
						Sмер = ∫MdB ,
							B1
	где	M =	a(1	−e2 )	=	a(1 −e2 )		−радиус кривизны меридиана
			W 3			(1 −e2 sin 2 B) 2	3

в точке с широтой B .

При вычислении длины дуги меридиана менее 50 км можно пользоваться упрощенной формулой, которая обеспечивает

получение искомой величины с ошибкой не более 10−2 м:

Sмер = M m (B2 − B1 )" ,

ρ"

где M m −радиус кривизны меридиана в точке со средней широтой Bm = B1 +2 B2 , вычисляемый по формуле:

M m = 6335552,8 +(63607,5 +538,4 sin 2 Bm ) sin 2 Bm ,

где B1 и B2 - широты границ рамок трапеции.

1.3. Вычисление площади трапеции

Элемент площади сфероидической трапеции dP равен произведению дифференциалов координатных линий dSмер и

dSпар , т. е.

dP =

a(1

−e2 )

dB

a

dL =

a2

(1 −e2 )

dBdL

=

b2

dBdL .

W 3

W

W 4

(1 −e2

sin 2

B)2

Тогда площадь трапеции будет равна

L2

B2

P = b2 ∫∫(1 −e2 sin 2 B)−2 cos BdBdL. =

L1 B1

B2

= b2 (L2

− L1 ) ∫(1 −e2 sin 2 B)−2 cos BdB.

B1

5

Применяя метод разложения подынтегральной функции в степенной ряд, после преобразования для эллипсоида Красовского получаем:

P = b2	L (sin B2		−sin B1 ) + 2 3e2 (sin 3 B2			−sin 3 B1 ) + .
	ρ		4 (sin 5 B		−sin 5 B )
		+3 5e		2
					1

Для вычислений следует принять, что e2 =0,006693 421 623,

ρ" =206 264,81 и b =6 356 863,019 м.

Пример вычисления

Для трапеции масштаба 1:100 000 N-37-21 необходимо вычислить на эллипсоиде Красовского длины рамок и площадь.

Заданная трапеция расположена на трапеции масштаба

1:1 000 000 N-37.

N-37

		36000'	40000'		40030'		42000'
52	0	00'					52000'

48000'					48000'
36000'					42000'
	40000'		40030'

Определив положение искомой трапеции на листе карты масштаба 1:1 000 000, вычерчивают схематический чертеж листа карты масштаба 1:100 000 с указанием координат углов ее рамки.

6

40000'		N-37-21
		40030'
510 40'			510 40'

510 20'			510 20'
40000'		40030'

Далее приступают к вычислениям. Все вычисления выполняют в соответствующих таблицах.

Таблица 1.1 Вычисление длин северной и южной сторон рамки трапеции

	Обозначение величин			Значения величин
				Северная рамка	Южная рамка
		Bi		51° 40'	51° 20'
		sin Bi		0,784 416	0,780 794
		sin 2 Bi		0,615 308	0,609 639
	Ni = 6378245,0 +(21345,8 +			6 391 442,9	6 391 320,7
	+168,1sin 2 Bi ) sin 2		Bi
		L1		40°00'	40°00'
		L2		40°30'	40°30'
		L = L2 − L1		30'	30'
		L"		1800	1800
		cos Bi		0,620 235	0,624 789
	S	L"	cos Bi
		парi = ρ" Ni		34 594,168	34 847,450
		Контроль

7

Таблица 1.2 Вычисление длин западной и восточной сторон рамки трапеции

Обозначение величин	Числовые значения
B1	51° 20'
B2	51° 40'
Bm	51° 30'
sin Bm	0,782 608
sin 2 Bm	0,612 48
M m = 6335552,8 +
+(63607,5 +538,4sin 2 Bm ) sin 2 Bm	6 374 712,8
B' = (B2 − B1 )'	20'
B"	1200
Sмер = B" M m / ρ"	37 086,575
Контроль

Таблица 1.3

Вычисление площади трапеции

Обозначение величин				Числовые значения
b2 , км2				40 409 707
e2				0,00669342
B1				51° 20'
B2				51° 40'
sin B2				0,780 794 03
sin B1				0,784 415 66
sin 3 B2				0,476 003
sin 3 B1				0,482 657
sin 5 B2				0,371 660
sin 5 B1				0,378 604
A = (sin B2 −sin B1 ) +
+2 / 3e2 (sin3 B2 −sin3 B1 ) +				0,003 648 44
+3 / 5e4 (sin5 B		−sin5 B )
2		1
		"
P = b2		L	A	1286,590 км2
		"
	ρ
Контроль

8

	Варианты для самостоятельного решения					Таблица 1.4
№№	Номенклатура	№№	Номенклатура	№№		Номенклатура
1	A-31-31	18	Q-51-100	35		A-51-101
2	B-32-32	19	P-50-99	36		B-50-102
3	C-33-33	20	O-49-98	37		C-49-103
4	D-34-34	21	N-48-97	38		D-48-104
5	E-35-35	22	M-47-96	39		E-47-105
6	F-36-36	23	L-46-95	40		F-46-106
7	G-37-37	24	K-45-94	41		G-45-107
8	H-38-38	25	J-44-93	42		H-44-108
9	I-39-39	26	I-43-92	43		I-43-109
10	J-40-40	27	H-42-91	44		J-42-110
11	K-41-41	28	G-41-90	45		K-40-111
12	L-42-42	29	F-40-89	46		L-39-112
13	M-43-43	30	E-39-88	47		M-38-113
14	N-44-44	31	D-38-87	48		N-37-114
15	O-45-45	32	C-37-86	49		O-36-115
16	P-46-46	33	B-36-85	50		P-35-116
17	Q-47-47	34	A-35-84	51		Q-34-117

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

2.Решение больших сфероидических треугольников

2.1.Вычисление сторон треугольника по известным сфероидическим углам

Треугольник, образованный геодезическими линиями на поверхности эллипсоида, называется сфероидическим. Решить такой треугольник – значит определить все его неизвестные элементы по некоторым заданным. Если стороны треугольника не превышают 200 км, то его можно рассматривать как сферический, используя при этом известные формулы сферической тригонометрии. Если стороны треугольника превосходят 200 км, то такой треугольник необходимо рассматривать как сфероидический и сфероидический избыток следует определять по более точным формулам, учитывающих уклонение сфероида от шара.

Пусть заданы широты вершин треугольника ABC, соответственно равные BA , BB , BC , углы треугольника на эллипсоиде и длина геодезической линии b, соединяющая

9

вершины треугольника A и C . Требуется вычислить две других стороны треугольника. Углы сфероидического треугольникаA, B и C можно представить в виде

A = Aсф +δA; B = Bсф +δB и C = Cсф +δC ,

где Aсф , Всф,Ссф −сферические углы треугольника, δA, δВ, δС −

поправки за сфероидичность треугольника.

Поправки за сфероидичность определяют по формулам

δA =

ε

K

A

− K

δB =

ε K

B

− K

δC =

ε K

C

− K

;

;

,

12

K

12

K

12

K

где K =	1	=	1	− гауссова кривизна эллипсоида на средней
	Rm2
			(MN)m
широте	расположения треугольника; K A , KB , KC − гауссовы

кривизны эллипсоида вращения в вершинах рассматриваемого треугольника; M , N − радиусы кривизны нормального сечения в плоскостях меридиана и первого вертикала (на средней широте расположения треугольника).

Определив поправки за сфероидичность, переходят к сферическим углам треугольника

A = Aсф +δA; B = Bсф +δB ; C = Cсф +δC.

Далее вычисляют приближенное значение сферического избытка по формуле

ε	пр	=	ρ"		b2 sin Aсф sin Cсф	,
			2R2		sin B
			m		сф

где b – известная сторона сфероидического треугольника. После этого вычисляют приближенные значения углов

плоского треугольника

A1 = Aсф −εпр / 3; ; B1 = Bсф −εпр / 3; C1 = Cсф −εпр / 3.

По теореме синусов определяют приближенные значения исходных сторон, решая треугольник как плоский:

a =	bsin A1	;	c =	bsin C1	.
	sin B
				sin B
1			1

По приближенным значениям сторон треугольника можно вычислить точное значение сферического избытка

tg 2ε / 4 = tg( p / 2)tg[( p − a) / 2]tg[( p −b) / 2]tg[( p −c) / 2],

10