Л2 / Приклад викрнання в Mathcad
.docАпроксимація емпіричних даних методом найменших квадратів
Необхідність розв’язання несумісних систем досить часто виникає у практичних розрахунках, наприклад при аналізі емпіричних даних, у тому числі й економічних. В економіці розглядаються зв'язки між вартістю продукції, обсягом виробництва, ціною й прибутком. Незважаючи на складність цих зв'язків, у певних моделях вони можуть бути лінійними. Нехай, наприклад, випуск екземплярів виробу обходиться у суму , випуск екземплярів виробу обходиться у суму і т.д. Тоді виробник може оцінити суму витрат у на наступному тижні, припустивши, що вона лінійно залежить від обсягу випуску t, і оцінивши значення коефіцієнтів с, d по вже наявним даним. Коефіцієнт с називається граничною вартістю виробництва, а коефіцієнт d визначає накладні витрати. Припустивши, що емпіричні дані підкоряються залежності , одержимо відносно невідомих с, d систему лінійних алгебраїчних рівнянь
у якій при n > 2 рівнянь більше, ніж невідомих. Лінійна система, число рівнянь у якій більше числа невідомих, називається перевизначеною.
Якщо лінійне співвідношення дійсно справедливо й емпіричні дані виміряні точно, то отримана система сумісна, ранг матриці дорівнює двом (кількість невідомих) і значення коефіцієнтів лінійної залежності можна знайти з перших двох рівнянь системи. На практиці така ситуація неможлива - емпіричні дані за своєю природою завжди містять помилку, а лінійна модель лише приблизно описує реальні зв'язки величин. Отже, система несумісна і її нормальний узагальнений розв’язок дозволяє знайти найкращі наближені значення коефіцієнтів лінійної функції, оскільки в цьому випадку нев'язка мінімальна. Побудованому в такий спосіб розв’язку можна дати геометричну інтерпретацію. Оскільки , то лінійна залежність - це пряма на площині змінних , сума квадратів відстаней до якої від заданих емпіричних точок мінімальна. Нормальний узагальнений розв’язок в цьому випадку є розв’язанням нормальної системи методу найменших квадратів:
де
Приклад. Для вивчення залежності октанового числа бензину від чистоти каталізатора (%) провели 11 вимірів, наведених нижче.
Таб.1.
Октанове число |
98.8 |
98.9 |
99.0 |
99.1 |
99.2 |
99.3 |
99.4 |
99.5 |
99.6 |
99.7 |
99.8 |
Чистота каталізатора |
87.1 |
86.6 |
86.4 |
87.3 |
86.1 |
86.8 |
87.2 |
88.4 |
87.2 |
86.4 |
88.6 |
Треба знайти коефіцієнти a, b лінійної залежності y = ах + b октанового числа від чистоти каталізатора та обчислити значення октанового числа, якщо чистота каталізатора складає 87%. Фрагмент робочого листа MathCad з відповідними розрахунками наведено на рис.1.
Рис.1.
Вказівка. Щоб уникнути ручного набору даних таблиця 1 була скопійована і збережена у файлі Excel. Потім за допомогою команди і далі в режимі діалогу збережена як масив Z. Функції іntersept(x, у) і slope(x, у) повертають значення коефіцієнтів a і b лінійної функції y = ах + b, що апроксимує експериментальні дані, збережені у векторах X і Y. Значення октанового числа, обчислені для частоти каталізатора 0.870 по обох формулах, збігаються. Співпадають і наведені в останніх рядках робочого документа коефіцієнти лінійної функції, обчислені обома способами. На рис. 2 представлені відповідні графіки.
Рис.2.