Lektsii_Obchislyuvalna_tekhn_MT-3 / Тема 03 / Тема 03
.doc
Тема 3
ЦІЛЬ ЛЕКЦІЇ
Ключові слова: чисельне інтегрування, формула трапецій, формула Симпсона
|
1.2. Чисельне інтегрування
У задачах будівельної механіки найчастіше вид підінтегральної функції невідомий але відомі значення функції в деяких фіксованих точках. У такому випадку для обчислення інтеграла застосовують методи чисельного інтегрування. Вони засновані на тім, що інтеграл надається у вигляді межі суми площ рівної (з визначеною точністю) значенню визначеного інтеграла.
Нехай потрібно обчислити визначений інтеграл
(1.8)
Загальний підхід до розв’язку цієї задачі наступний.
Визначений інтеграл I являє собою площу, обмежену кривою , віссю x і прямими і (рис.1.8)
Рис.1.8. Графічна інтерпретація визначеного інтеграла |
Рис. 1.9. До виводу формули трапецій |
Формула трапеції
Розіб'ємо інтервал інтегрування на n рівних частин, кожна довжиною . Площа однієї частини є визначений інтеграл від хі до хі+1:
(1.9)
Але якщо досить мала, то площу ділянки можна визначити як площу трапеції АВС (рис. 1.9) так що
(1.10)
Значення інтеграла одержуємо як суму площ: або зважаючи, що внутрішні ординати в сумі площ повторюються двічі, запишемо:
(1.11)
Ця формула в компактній формі записується так:
(1.13)
Формула Симпсона
Формула Симпсона аналогічна формулі трапеції. Розходження полягає в тім, що для одержання площі однієї ділянки через три сусідні ординати розбивки проводиться квадратична парабола
, (1.14)
чи в більш компактній формі:
(1.15)
Число ділянок розбивки має бути парним.
Формула Симпсона є більш точною чим формула трапеції при рівній кількості ділянок розбивки.
Далі розглянемо приклад інтегрування, записані в термінах MathCAD.
Приклад чисельного інтегрування в системі MathCAD наводиться на рис. 1.10.
|
|
Рис.1.10. Приклад чисельного інтегрування в системі MathCAD |
|
Тут Y - задані значення функції; L - інтервал інтегрування; n - кількість ділянок розбивки інтервалу; h - довжина ділянки; Isum - значення інтеграла |
|
Увага!
1. Нумерація елементів матриць і векторів за замовчуванням починається з 0 (нуля).
2. Користувач установлює всі дужки напівкруглі, надалі форма дужок змінюється автоматично, у залежності від їхньої кількості у математичному виразі.
3. Вектор даних уводиться за допомогою діалогового вікна, яке викликається зі спадного меню, п. Matrix...,або натисканням клавіш Ctrl + M, чи за допомогою панелі матричних операцій
На рис.1.11. показані графіки підінтегральної функції F(x1) та її апроксимації за формулою трапецій Y
|
Рис.1.11. Аналітичне і чисельне представлення підінтегральної функції